FM
elle nous indique que la tangente MT est la bissectrice de Vangle extérieur du triangle FMF' ; nous retrouvons ainsi la propriété fondamentale de la tangente à Tellipse.
Les mêmes considérations s'appliqueraient à l'hyperbole en changeant 6* en — 6*.
3*^ Considérons la parabole représentée par Téquation
y^^2px = Q;
en rendant, comme précédemment, Téquation homogène, nous la mettrons sous la forme
/■(aîi, yu ^) = Hi^ — 2/)XiZ = 0 ; nous en tirons
en y remplaçant a^i^yi ^^ ^ P^** ^^y ^t i, portant dans Téquation
(8) et divisant par 2, nous obtenons Téq nation de la tangente
celle de la normale est
(14) Iziy=.x-^.
La sous-tangente PT de la parabole [fig. 72) s'obtient en faisant Y = 0 dans l'équation (13) ; l'abscisse de T est \ = — x, et l'on a PT = — 2x\ on obtient la sous-normale en faisant Y = 0 dans l'équation (14); elle donne X — x = p, d'où pr^ = p ; nous concluons de là que dans la parabole la sous-tangente
Fig. 72.
378 APPLICATIONS GtOMÉTlUQUES
est égale au double de l'abscisse, prise en signe contraire, et la sousnormale est égale au paramètre.
Remarquons encore que F étant le foyer de la courbe, la longueur FT
est égale à a; + ^ ; elle est par conséquent égale au rayon vecteur FM ;
nous en concluons que le triangle FTM est isocèle, et que la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur et la parallèle à F axe; nous retrouvons ainsi la propriété fondamentale de la tangente à la parabole.
252. Point multiple. — En utilisant Téquation (5) pour former réquation de la tangente en un point d'une courbe, nous avons supposé que les deux dérivées f'x et f, ne sont pas nulles toutes les deux pour les coordonnées du point de contact ; lorsqu'elles le sont, le calcul que nous avons effectué est illusoire ; le point de coordonnées x, y est alors appelé/)oi7i^ singulier de la courbe.
Pour qu'un point soit singulier, il faut que ses coordonnées «, y satisfassent à la fois aux trois équations
celles-ci n'ont généralement aucune solution commune, et elles n'en possèdent que si. le résultat de l'élimination de a? et y entre elles est nul ; une courbe ne possède donc en général aucun point singulier.
Pour nous rendre compte de la forme d'une courbe représentée par l'équation (4), aux environs d'un point singulier de coordonnées (x, y), nous considérerons comme au n° 248 un point M' voisin du premier, et nous désignerons par x + Ax et y-h ày ses coordonnées. En écrivant qu'elles satisfont à la même équation et développant le premier membre d'après la formule de Taylor (n*^ 162), nous aurons
(16) 0 = /-(x-+-Ax,y-4-Ay)=/'(a?,.V)-h/-;Ax-h/';Ay
+ |(/-J,Ax« + 2/;,AxAy-4-/-;.Ay«)-^
Les trois premiers termes du second membre sont nuls d'après les relations (15) ; si les trois dérivées partielles du second ordre fU, flj^ fjt ne sont pas toutes les trois nulles, on dit que le point (x, y) est un point double ; si elles sont nulles, et si en général les dérivées de
moindre ordre qui ne sont pas simultanément nulles sont d'ordre p, on dit que le point est multiple d'ordre /?.
i** Considérons d'abord le cas d'un point double ; Ào; et dy sont liés par la relation (16) qui devient
(17) \(fU^x' -h 2r^àxly ^ f;.\y') -hj {p.^x' +...)-h...=0;
lorsque ^x tend vers zéro, il existe plus d'une valeur de Ay qui tend vers zéro avec Sx ; pour déterminer les valeurs correspondantes du
rapport -r^ i nous diviserons les deux membres de l'équation (17)
par A«*, et nous obtiendrons la relation
à la limite, tous les termes qui suivent les trois premiers sont nuls, et il reste pour détertHiAer la limite -^ du rapport -^ l'équation
QX ûiX
m /:.+2^ig+r.(^)'=o.
Cette équation étant du second degré, nous voyons que la sécante MM' peut occuper deux positions limites, dont les coefficients angu* laires sont les racines de l'équation précédente ; ces positions limites sont les tangentes à deux branches de courbe passant par M. C'est parce qu'il y a deux branches se croisant au point M que l'on donne à ce point le nom de point double.
A chaque racine de l'équation (18) correspond une tangente représentée par lune des équations (2) ou (3) ; si nous éliminons -^ entre ces équations et la précédente, nous obtenons l'équation
qui représente l'ensemble des tangentes à la courbe au point double.
Si les racines de l'équation (18) sont réelles, c'est-à-dire si la quantité
est positive, les deux tangentes ont des coefficients angulaires réels et distincts; le point. M. est un point double ordinaire; il y a deux
branches réelles de courbe qui se coupent en ce point. Si les racines sont imaginaires, c'est-à-dire si R est négative, le point M est un point double que Ton appelle isolé parce que les branches de courbe qui y passent n'ont pas de tangente réelle, ni de point réel dans le voisinage de celui-là. Si enfin les racines sont égales, c'est-à-dire si R est nulle, les deux tangentes ont des coefficients angulaires égaux, et elles sont confondues ; les deux branches deviennent tangentes à la même droite au point double ; on dit dans ce cas que ce point est un point de rebroussemenl.
2^ Considérons le cas d'un point multiple d'ordre p ; les premiers termes qui se présentent dans le développement de /'(a;-4- Ao;, y -h ^y) sont ceux de degré />, et l'équation (17) est remplacée par la suivante:
* ^^"Vi^AajP+*-f- . •. \ -4- • • • =0;
lorsque Ax tend vers zéro, il existe un certain nombre de valeurs de ^y qui tendent vers zéro. Pour obtenir les valeurs correspondantes du
rapport--^ 9 nous diviserons par £iaf les deux membres de Féqua-
tion (20), et nous ferons tendre Ax vers zéro; la limite du rapport
-j^ , égale à -^ , est alors donnée par l'équation
iaX dx
Cette équation a p racines ; nous en concluons que la sécante MM' a p positions limites dont les coefficients angulaires sont les racines de l'équation précédente, et qu'il existe dès lors p branches de courbe se croisant au point M , chacune d'elles étant tangente à l'une des droites limites précédentes.
A chaque racine correspond une tangente représentée par l'une des équations (2) ou (3) ; l'équation de l'ensemble des p tangentes
s'obtient en éliminant -^ entre les équations (2) ou (3) et (21) ; elle est
QX
SiTéquation (2i) a des racines imaginaires, les branches correspondantes de courbe sont imaginaires ; si plusieurs racines sont égales les branches correspondantes ont même tangente.
253. Cas particulier de l'origine. — Considérons une courbe algébrique passant parForigine; le terme constant dans Téquation doit être nul ; en ordonnant les autres suivant les puissances croissantes de X et de t/j nous écrirons Téquation sous la forme
nous allons déterminer les tangentes à cette courbe à Forigine. Les
dérivées /"i et /J ont pour valeurs /"i = A -i- 2Cx -h 2Dy -h SFx^ H .
/J=BH-2Da:-f- 2Ey-f- • • •; lorsqu'on y remplace a: et y par les coordonnées de Torigine, elles se réduisent à A et B. Si ces deux coefficients ne sont pas nuls simultanément, Torigine est un point simple et Téquation de la tangente en ce point est
AX-hBY = 0.
Plaçons-nous dans le cas où A et B sont nuls ; Torigine est alors un point multiple ; si les termes du second degré n'ont pas tous leurs coefficients nuls, les dérivées secondes
/■î« = 2CH-6Fa;H- .-., /•«=2D-h.--, /';2 c= 2E -4- . • •
se réduisent pour Torigine à 2C, 2D et 2E ; elles ne sont pas nulles toutes les trois ; nous en concluons que Torigine est un point double.
L'ensemble des deux tangentes est représenté par l'équation (19) où l'on fait x et y nuls ; elle devient, après division par 2,
CX«-^2DXY-^-EY* = 0;
Y cette équation, résolue par rapport à — « fournit les coefficients angulaires des tangentes ; suivant que ses racines sont réelles et distinctes, imaginaires ou confondues, l'origine est un point double à branches réelles, un point double isolé ou un point de rebroussement.
Si, plus généralement, les termes de plus bas degré de l'équation de la courbe sont de degré />, on constate que les premières dérivées qui ne s'annulent pas pour x et y nuls sont d'ordre p , et ces dérivées se réduisent, à un facteur numérique près, aux coefficients des
termes de degré p ; l'origine est alors un point multiple d'ordre p. L'ensemble des tangentes est représenté par l'équation (22) où l'on fait X eX y nuls ; le calcul montre que cette équation est la même que celle qu'on obtient en annulant les termes de degré p de l'équation delacourbe, après y avoir remplacé x, y par X, Y. Ce changement n'est pas indispensable, et l'on peut sans inconvénient conserver les lettres a? et 1/ comme coordonnées courantes dans l'équation qui représente l'ensemble des tangentes. Nous arrivons ainsi au théorème suivant :
Lorsqu'une courbe algébrique passe à l'origine, Perdre de multiplicité de ce point est égal au plus bas degré des termes de l'équation de celte courbe, et l'on obtient l'équation de l'ensemble des tangentes à V origine en égalant à zéro l'ensemble des termes déplus bas degré de Véquation de la courbe.
Exemples. — 1* Considérons la courbe appelée femm'«oo/e et représentée par l'équation
elle passe à l'origine et ce point est un point double ; l'ensemble des tangentes en ce point est représenté par l'équation
le premier membre se décompose en deux facteurs x — y et jp + y qui, égalés à zéro, représentent les bissectrices des angles des deux axes ; ces bissectrices sont les tangentes cherchées.
Pour construire la courbe, il y a avantage à former son équation
en coordonnées polaires, en remplaçant a? et y par p cos 6 et p sin 6 ; nous avons ainsi
p*=2a«cos26;
p n'est réel que si 6 est, à un multiple près de 2^,
compris entre — T ** •^" ^
Fig; 73. 3ic ^ 5« ^ .,
ou entre -r- et -7- et il 4 4
s'annule pour les limites précédentes ; la courbe a la forme de la figure 73.
2® Soit la courbe représentée par Téquation
elle a un point double à l'origine ; les tangentes sont représentées par réquation a;*+y' = 0 et sont imaginaires; l'origine est un point double isolé. En formant Téquation de la courbe en coordonnées polaires et en effectuant la constniction, on constate que la forme de la courbe est à peu près celle d'une circonférence et de son centre.
Z"" Soit enfin la courbe appelée cissotde et représentée par Téquation
elle a encore un point double à Torigine, et les tangentes en ce point
sont représentées par Téquation y* = 0 ; elles sont confondues en une seule droite dirigée suivant Taxe des x; Forigine est un point de rebroussement.
Pour construire la courbe, nous résoudrons son équation par rapport à y^ et nous aurons
Fig. 74.
y n'est réel que si x est compris entre 0 et a; à chaque valeur de x comprise entre ces limites correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ; lorsque x tend vers a, y augmente indélSniment en valeur absolue, et la droite a? =s a est une asymptote de la courbe ; cette courbe a la forme indiquée dans la figure 74.
254. Tangentes parallèleB à une droite. -^ Lorsqu'on veut mener à une courbe une tangente ayant un coefficient angulaire donné m , on cherche à déterminer le point de contact d'une telle tangente ; on écrit pour cela que le coefficient angulaire y« de la tangente est égal à m ; si réquation de la courbe est de la forme y = f{x), on obtient la relation
qui fournit les abscisses des points de contact cherchés.
Si Téquation de la courbe est de la forme (4), yl est donné par Féquation (5) ; en égalant à m le coefficient angulaire y« , on a la relation
(23) A-Mn/'; = 0.
En joignant cette équation à celle de la courbe, on a deux équations à deux inconnues ; leurs racines sont les coordonnées d'un ou de plusieurs points de contact répondant à la question ; il suffit de mener à la courbe la tangente en chacun de ces points.
Si Ton considère dans Téquation (23) x et y comme coordonnées courantes, elle représente une ligne dont les points communs avec la courbe donnée sont les points cherchés ; cette ligne auxiliaire est appelée diamètre de la courbe relativement à la direction de coefficient angulaire m.
Si la courbe donnée est algébrique et d'ordre m, le diamètre est une courbe d'ordre m — 1 coupant en général la première en m{m — 1) points ; on peut donc en général mener, à une courbe d'ordre m, m{m — i) tangentes parallèles à une droite donnée.
Dans le cas d'une courbe du second ordre, le diamètre représenté par Téquation (23) est une droite, et il coupe en général la courbe en deux points; on peut donc ordinairement mener à une conique deux tangentes parallèles à une direction donnée ; le diamètre est la corde de contact de ces tangentes.
255. Tangentes passant par un point. — Lorsqu'on veut mener à une courbe une tangente passant par un point donné Mq, on cherche à déterminer le point de contact d'une telle tangente ; on écrit pour cela que la tangente à la courbe en ce point inconnu passe par le point M^.
Supposons que l'équation de la courbe soit donnée sous la forme (4), et que la tangente en un point (x , y) de cette courbe soit représentée par l'équation (8) ; désignons par x^ , y^ les coordonnées du point donné Mq ; en écrivant qu'eUes satisfont à l'équation de la tangente^ nous obtenons la relation :
(24) Vi+y«/;-<-/î = o-
En joignant cette équation à celle de la courbe, on a deux équations à deux inconnues dont les solutions sont les coordonnées (x, y) d'un ou de plusieurs points de contact répondant à la question ; les tangentes a la courbe en chacun de ces points seront les tangentes cherchées.
Si Ton considère dans l'équation (24) a; et iy comme coordonnées courantes, cette équation représente une ligne dont les points communs avec la courbe donnée sont les points de contact cherchés.
Cette ligne auxiliaire est appelée la polaire du point {x^ , y^^ par rapport à la courbe donnée ; les points où elle la coupe sont les points de contact des tangentes répondant à la question.
Lorsque la courbe donnée est algébrique d'ordre m, Téquation (24) est de degré m — 1 en a; et iy, et représente une courbe d'ordre m ~ i ; le nombre des points communs à ces deux lignes est en général m(jn — 1) ; on en conclut que par un point on peut en général mener à une courbe d'ordre m, m(m — 1) tangentes.
Dans le cas d'une courbe du second ordre, la polaire d'un point est une droite qui coupe ordinairement la courbe en deux points ; on peut donc en général mener d'un point deux tangentes à une conique, et la polaire du point est la corde joignant les points de contact de ces deux tangentes. On obtient l'équation de la polaire en remplaçant dans l'équation de la tangente, telle que (12) ou (13), X et Y par les coordonnées ar^, j/o ^^ P^i^^ donné.
