CHAPITRE II G0N8TMGTI0N DE COURBES PLAMES

257. — Nous allons indiquer quelques règles relatives à la construction d'une courbe plane donnée par son équation. Nous supposerons dans ce chapitre que la courbe est représentée en coordonnées cartésiennes par une équation résolue par rapport à Tune des variables, par exemple par rapport à y ; tout ce que nous dirons de ce cas s'appliquerait à celui où Féquation serait résolue par rapport à x en changeant le rôle des deux variables.

Si y = f{x) est Téquation de la courbe, Tétude des variations de la .onction /(x), telle que nous Ta vous faite au chapitre II de la troisième partie, fournira des indications sur la manière dont varie y ; elle donnera les intervalles où la fonction y est réelle et continue, croissante ou décroissante, les valeurs de x pour lesquelles elle est maximum ou minimum et les valeiu*s correspondantes de y.

258. Concavité. Convexité. Inflexion. — On dit qu^un arc de courbe est concave du côté des y positifs si tous les points de cet arc sont, par rapport à la tangente en Tun quelconque d'entre eux, du même côté que Taxe des y positifs, comme l'indique la figure 76. On dit qu'un are de com*be est convexe du côté des y positifs si tous ses points sont, par rapport à la tangente en l'un quelconque d'entre eux, du même côté que l'axe des y négatifs.

Supposons qu'un arc de courbe soit concave du côté des y positifs, et considérons sur cet arc deux points M et M' d'abscisses x et x' (x'>x); d'après la définition de la concavité, le coefficient angulaire

388 APPucAnoNs géométbiques

de la sécante MH' est supérieur à celui de la tangente en M , mais inférieur à celui de la tangente en M' ; nous concluons de là que le coef- Ocient angulaire d'une tangente à Tare de courbe va en croissant lorsqu'on fait croître Tabscisse de son point de contact; par conséquent la valeur y' = /'(x) de ce coefficient angulaire est une fonction croissante de X , D'après ce que nous avons dit (n* 147), la dérivée y* = f\x) de cette fonction est positive ou du moins n'est jamais négative pour les abscisses de tous les points de l'arc considéré.

Nous verrions de la même façon que si un arc de courbe est convexe du côté des y positifs, le coefficient angulaire d'une tangente à cet arc est une fonction décroissante de a;, et la dérivée y' = f'(x) de cette fonction est négative ou du moins n'est jamais positive pour les abscisses de tous les points de cet arc.

Comme les résultats auxquels nous arrivons s'excluent l'un l'autre,

les réciproques sont exactes, et nous pouvons énoncer ces théorèmes :

Pour qu'an arc de courbe soit concave du côté des y positifs^ il

faut et il suffit que la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à

Cabscisse soit positive ou du moins jamais négative pour tous les points de cet arc.

Pour qu'un arc de courbe soit convexe du côté des y positifs, il faut et il suffit que la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à Vabscisse soit négative ou du moins jamais positive pour tous les points Y\a. 76. ^^ ^^l arc»

On dit qu'un point M d'une courbe est un point d'inflexion s'il sépare deux arcs, l'un concave, l'autre convexe du côté des y positifs ; la tangente en un tel point traverse la courbe comme l'indique la figure 77, et son coefficient angulaire passe par un maximum ou un minimum. En nous appuyant sur les résultats précédents, nous pouvons énoncer ce théorème :

Pour qu'un point d'une courbe soit d'inflexion, il faut et il suffit que la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à Vabscisse change de signe pour le point considéré.

Exemples. — Considérons la courbe représentée par l'équation y =«' ; nous avons y' = 3a?' et y*= 6x; nous voyons que la dérivée seconde est négative pour x<0, et positive pour a; >0. La partie de la courbe dont les points ont une abscisse négative est convexe du côté des y positifs, et l'autre partie, dont les points ont une abscisse positive, est au contraire concave du même côté; Forigine est un point d'inflexion de la courbe, et la tangente en ce point est Taxe des x.

Considérons de même la courbe représentée par Téquation y* = x,

ou y = a: « ; nous avons y' = — a? s et y ' = —^ a: s ; les conclu-

sions sont inverses de celles du cas précédent. L'origine est encore un point d'inflexion de la courbe, et la tangente en ce point est Taxe des y.

Nous voyons que les abscisses des points d'inflexion d'une courbe sont celles pour lesquelles y'^ change de signe; pour les obtenir, on cherche d'abord les valeurs de x qui rendent y^ nulle ou discontinue et Ton conserve parmi ces valeurs celles pour lesquelles cette dérivée change de signe.

Dans tout ce qui précède n'interviennent pas les valeurs de y' et y', mais seulement les signes de y'; ces dérivées peuvent devenir infinies sans que les résultats soient modifiés, comme cela s'est présenté dans le second des exemples précédents.

Nous avons vu, dans l'étude des maxima et minima des fonctions d'une variable (n** 165), comment la formule de Taylor peut remplacer la recherche des signes de la dérivée; nous allons montrer qu'ici encore la formule de Taylor, dans les cas où elle est applicable, permet de déterminer la concavité ou la convexité d'une courbe y=zf(x) au voisinage d'un de ses points, et de trouver ses points d'inflexion.

Soit M un point de la courbe, d'abscisse a?, et M' un point voisin, d'abscisse x + Ax (Jig. 76); si la tangente au point M est coupée en N' par l'ordonnée P'M' du point M', nous avons

P'M' = f(x -f- Ax) , FN' = f(x) -f- Ax /'(x) ;

en développant fÇx-h^x) d'après la formule de Taylor, nous trouvons pour le segment N'M' = FM'— P'N' la valeur:

(i) N'M' = ^A^)-h ... -^.^^ll-^f(n.i,^x^^^x).

En général la dérivée /"(x) est difi*érente de zéro; supposons que

APJ»UCAT10NS GÉOMÉTRIQUES

pour le point M cette dérivée ne soit pas nulle et soit par exemple positive ; dans le second membre de la formule (1), le nombre n est arbitraire ; si nous le prenons égal à Tunité, nous avons simplement

N'M' = ^/-'(x^-6Aa;).

Nous pouvons supposer Ao; assez petit en valeur absolue pour que ("(x-^^^ ait le même signe que f\x)\ nous en concluons que N'M' est positif aussi bien pour les valeurs positives que négatives de Ax, et que les points de la courbe situés aux environs du point M, comme le point H', se trouvent du cdté des y positifs par rapport à la tangente, ainsi que l'indique la figure 76 ; la courbe tourne sa concavité vers les y positifs.

Si la dérivée f\x) est négative, les conclusions sont inverses, et les points de la courbe se trouvent, dans le voisinage de M, du côté des y négatifs par rapport à la tangente ; la courbe tourne sa convexité du cdté des y positifs.

Supposons maintenant que pour un point M particulier f\x) soit nulle et f\x) différente de zéro ; on a alors, en faisant a == 2 ,

N'M' = ^/*(x + OAx);

le second facteur a le signe de f\x) pour des valeurs suffisamment petites de Ao;, et le signe du second membre varie avec celui de Aa?, car

cette quantité est élevée à une puissance impaire ; nous en concluons €[ue N'M' a un certain signe pour les points M'dont Tabscisse est supérieure à celle du point M, et le signe contraire pour ceux dont Tabscisse lui est inférieure ; la courbe traverse donc la tangente au point M, comme Tindique la figure 77 ; le point M est un point d'in-

„. __ flexion.

Fig. 77.

U peut arriver que pour des points

particuliers, non seulement f\x)^

mais encore une ou plusieurs des dérivées suivantes soient nulles ; si

la première de celles qui ne s'annulent pas est d'ordre />, on verrait oomme précédemment que la courbe ne traverse pas la tangente si p est pair, et qu au contraire elle la traverse et présente en M un point d'inflexion si p est impair.

Lorsque Ton veut déterminer les points d'inflexion d'une courbe, on doit chercher les valeurs de x pour lesquelles f'(x) est nulle ; une racine de l'équation f\x) = 0 n'est cependant l'abscisse d'un point d'inflexion que si la première des dérivées f\x)y . . . qui ne s'annulent pas pour cette valeur est d'ordre impair.

259. Équation de Van der Waais. — L'équation connue en physique sous le nom d'équation de Van der Waais est