RT
oxx p ti V sont des variables représentant la pression et le volume d'un fluide, a, 6 et R des constantes positives dépendant de la nature de ce fluide, et T la température absolue. Lorsque T reste constant, cette équation représente, avec v ei p comme abscisse et ordonnée, une courbe isotherme ; en donnant à T différentes valeurs positives, on a une famille de courbes que nous nous proposons de construire ; nous ne considérerons que la portion de chacune de ces courbes obtenue en donnant à v des valeurs supérieures à 6.
En résolvant l'équation par rapport à />, nous avons
RT
.4 = -^rRT-?iî^| v^ V — b\ t^ J
Cherchons d'abord si p peut s'annuler ; cela a lieu si la fraction
peut atteindre la valeur RT ; pour le voir, étudions )a variation de y et formons sa dérivée ; elle a pour valeur
et s annule pour t? = 2&; lorsque v croit de 6 à 26, y croit depuis 0 jusqu'à un maximum égal ^ ôi t^ ^^ décroît ensuite jusqu'à zéro.
Nous en tirons cette première conclusion :
Suivant que RT est inférieur, égal ou supérieur à hîT"' P s'an-
nule pour deux valeurs distinctes de v, ou pour deux valeurs confondues et égales à 26, ou ne s'annule pas.
Étudions maintenant la dérivée de p ; elle a pour valeur
p' s'annulera, et par conséquent p aura des maxima ou des minima, si la fraction
peut atteindre la valeur RT; en opérant comme précédemment et formant la dérivée de 2, qui est
nous voyons que z croit de 0 à un maximum atteint pour v = 3b et
égal ^ Â^ T- « puis décroît jusqu'à zéro ; nous en tirons cette deuxième
conclusion :
Suivant que RT est inférieur, égal ou supérieur à 57 -r' P'
s'annule pour deux valeurs distinctes de v supérieures à 6, ou pour deux valeurs confondues et égales à 36, ou ne s'annule pas ; à chaque valeur de v annulant p' correspond un maximum ou un minimum de p.
Étudions enfin la dérivée seconde de p ; elle a pour valeur
, 2RT 6a^ 2 f^^ 3a(i;~ft)»-
^[rt-M=^];
p' s'annulera, et par conséquent la courbe aura des points d'inflexion,
si la fraction
^3fl(r-6)»
peut atteindre la valeur RT ; en opérant encore comme précédemment et formant la dérivée de o, qui est
, 3a(v^bYHb--v)
rieur à
san-
noas voyons que a croit de 0 à un maximum atteint pour v = U et
égal à 77 T-' P"is dé- 4 u
croit jusqu'à zéro ; nous en tirons cette troisième conclusion :
Suivant que RT est inférieur, égal ou supé- 3^a 4* 6' nule pour deux valeurs distinctes de V supérieures à 6, ou pour deux valeurs confondues et égales à 46, ou ne s'annule pas ; à chaque valeur de v annulant p" correspond un point d'inflexion de la courbe.
La courbe représentative des variations de p aura des formes distinctes suivant les valeurs de RT ; elles sont représentées dans la figure 78. La courbe
I correspond à RT inférieur à 22TÎ elle coupe Ov en deux points
réels ; ces points sont confondus et la courbe devient tangente à Ov
si RT = .— -• La courbe II correspond à RT compris entre la
Fig. 78.
valeur précédente et -rj t ; /> passe comme dans le cas précédent par un minimum et un maximum. Ce minimum et ce maximum sont confondus pour RT = ^ -^ » comme l'indique la courbe III ; celle-ci
présente alors, pour tj = 36, une tangente d'inflexion horizontale.
La courbe IV correspond à RT compris entre la valeur précé- 34 fi dente et -77-7-; elle présente comme les précédentes deux points d'in-
3* a flexion ; enfin la courbe V correspond à R supérieur à -77 -r; elle ne
présente aucune inflexion et a la forme d'une branche d'hyperbole équilatère.
394 APPUGATKONS GÉOUÉTRIQCES
260. ABymptotes. — Lorsqu'une branche de courbe s'étend à rinfini, on dit qu'elle admet pour asymptote une droite donnée si la distance d'un point de la courbe à cette droite tend vers zéro lorsque ce point s'éloigne indéfiniment.
i^ Si y augmente indéfiniment lorsque x s'approche d'une valeur a, la droite x = a est une asymptote de la courbe ; on obtient par suite les asymptotes parallèles à l'axe des y en cherchant les valeurs finies de x pour lesquelles y est infini. C'est ainsi que nous avons trouvé l'asymptote de la cissoîde (n^ 253); de la même manière, la courbe représentative de la fonction tg a; a pour asymptotes toutes
les droites d'abscisses a: = fcic -+- — •
2® Pour une raison analogue, si y tend vers une limite 6 lorsque x augmente indéfiniment, la droite y = 6 est une asymptote parallèle à l'axe des x ; par exemple, la courbe
a pour asymptote la droite y = 2, car y tend vers la valeur 2 pour X infini. En général si y est une fraction rationnelle telle que le degré du numérateur soit égal ou inférieur à celui du dénominateur, la courbe a une asymptote parallèle à l'axe Ox ou confondue avec lui.
Les courbes construites au numéro précédent ont pour asymptotes l'axe Ov et la parallèle à l'axe 0/> d'abscisse v=^b,
3** Une courbe peut avoir d'autres asymptotes non parallèles aux axes ; on reconnaît qu'une droite représentée par l'équation
(2) y = ex -h rf
est asymptote de la courbe y = f(x) à ce que la différence entre les ordonnées de la droite et de la courbe correspondant à une même va< leur de l'abscisse x tend vers zéro lorsque x augmente indéfiniment; il faut et il suffit pour cela que Ton puisse écrire l'ordonnée de la courbe sous la forme
(3) y = f(x) = ex -f- rf-4- 6,
e tendant vers zéro lorsque x augmente indéfiniment.
Lorsque f(x) est une fonction rationnelle et que le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur, le procédé le plus rapide pour déterminer l'asymptote consiste à efi^ectuer la division
da numérateur par le dénominateur ; si en effet cx-^d est le quotient de la division et € le reste divisé par le diviseur, f(x) peut être écrit sous la forme (3), et e tend vers 0 lorsque x augmente indéfiniment'; il résulte de là que Ton obtient Téquation de Tasymptote en supprimant s, c'est-à-dire en égalant y au quotient cx-hd de la division du numérateur par le dénominateur. Si le degré du numérateur surpasse de plus d'une unité celui du dénominateur, la courbe n'a pas d'asymptote non parallèle à Oy .
Soit à construire par exemple la courbe du second ordre représentée par l'équation
Téquation est du premier degré par rapport à y ; elle donne, en la résolvant par rapport à cette variable,
2a:> — 2aî--i
La courbe a une asymptote parallèle à Oy, d'abscisse 2 ; lorsque X s*approcbe de 2 par valeurs inférieures à ce nombre, le numérateur est positif, le dénominateur négatif, et y augmente indéfiniment par valeurs négatives ; de même lorsque x tend vers 2 par valeurs supérieures, y augmente indéfiniment par valeurs positives. En effectuant la division du numérateur par le dénominateur, on a
lorsque x augmente indéfiniment par valeurs positives ou négatives, la fraction tend vers zéro, et l'ordonnée de la courbe tend vers la même valeur que l'ordonnée de la droite
y = x-hl.
Cette droite est la deuxième asymptote de la courbe ; on voit de plus que la fraction complémentaire est négative pour x inférieur à
396 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQCES
2 et positive pour x supérieur à ce nombre ; dans le premier cas, la courbe est au-dessous de son asymptote et dans le second cas, au-dessus. La dérivée de y est
elle indique que y passe par un maximum pour x = — -^-^ et par
un minimum pour x = — -^; y est nul pour ar = L=Jl£, et
pour X = 0, y est égal à — •
La courbe a la forme indiquée par la figure 79 ; nous montrerons plus tard qu'elle est une hyperbole.
261. Lorsque la fonction y = f(x) n'est pas rationnelle, il n'est pas toujours facile, pour la recherche d'une asymptote, de mettre cette' fonction sous la forme
y=cx-hd-ht,
e tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment. On calcule alors séparément le coefficient angulaire c et l'ordonnée à l'origine d de l'asymptote à l'aide du théorème suivant :
Théorème. — c est égal à la limite de ^ et d est égal à la limite de y — ex poar x infini.
Pour le démontrer, remarquons que l'équation (3) nous donne les égalités
-^ = C'\ 1 1 V — cx = a-f-e;
j lorsque x augmente indéfiniment, e d'une part, 1 d'autre part
tendent vers zéro ; par suite, la limite de -^ est égale à c, et celle de
y — ex est égale à d.
Exemple. — Soit la courbe représentée par Téquation
/x— 1 OÙ le radical est pris avec le signe + ; nous avons -^ = i/ ^^ et la
limite de ce rapport est Tunité ; le coefficient angulaire c est donc égal à 1 ; formons maintenant y — ex, qui a ici pour valeur
y/gg— 1 — y/g — 2.
en multipliant les deux termes de la dernière fraction par la somme des radicaux formant le numérateur, nous avons
la limite du second membre est --i de sorte que Tordonnée à Torigine
d est égale à — j Téqua-
tion de Tasymptote est par conséquent
La courbe a une autre asymptote parallèle à Oy et d'abscisse 2 ; pour achever de la construire, nous ferons les remarques suivantes :
i^ y n'est réel que si X est inférieur à i ou supérieur à 2 ;
2'' La courbe passe à Torigine ; le coefficient angulaire de la tangente en ce point est la limite du coefficient angulaire d'une sécante, c'est-à-dire du rapport -^
quand x tend vers zéro ; il est égal à
3^ Les valeurs de x pour lesquelles y est maximum ou minimum
Fig. SO.
sont comprises parmi celles qui rendent maximum ou minimum le carré de y ; la dérivée de ce carré est
dx "■ (ar — 2)* /
elle s*annule pour x = 0, mais y n'est pas maximum pour cette valeur
7 â/fj
de x\ elle s'annule aussi pour x= — -^ — » qui rend y maximum, et
pourx= — ^ — qui rend y minimum. La portion considérée delà
courbe est représentée en trait plein dans la figure 80; la partie tracée en pointillé, symétrique de la première par rapport à l'axe des x, représente la fonction déduite de y en prenant le radical avec le signe — .
2d2. Cas d'une équation non résolue. — Nous supposons maintenant que la courbe est représentée en coordonnées cartésiennes par une équation f(x^ y) = 0 non résolue par rapport à Tune des variables ; nous nous limiterons au cas où cette équation est algébrique bien que plusieurs des résultats que nous indiquerons s'appliquent aux courbes transcendantes. Nous n'insisterons pas sur le cas où l'équation est facilement résoluble par rapport à x ou à y, car il suffirait d'effectuer la résolution pour se trouver dans un des cas déjà examinés.
L'équation de la courbe définit l'une des variables, par exemple y, comme fonction implicite de l'autre; nous sommes amenés de cette manière à l'ordonner par rapport à cette variable et à l'écrire sous la forme
(0 f(^, y) = ?«(^V -+- tiWj/'^-' 4- . . . == 0,
9«, ^1, ... étant des polynômes entiers en x ou des constantes. Les méthodes que nous avons indiquées dans la quatrième partie permettent de déterminer pour chaque valeur de x le nombre et la grandeur des racines réelles y qu'elle peut avoir ; nous pourrons nous rendre compte, de cette façon, du nombre et de la position des points de la courbe situés sur une parallèle à 0,y, lorsque l'on fait varier l'abseisse de cette parallèle de — oo à -f-oo .
Si les racines de l'équation sont deux à deux égales et de signes contraires, c'est-à-dire si l'équation ne change pas quand on change y en — y, la courbe est symétrique par rapport à l'axe Ox; de
même, si Téquationne change pas quand on y remplace x par — x, la courbe est symétrique par rapport à Taxe des y ; si enfin Téquation ne change pas quand on change de signe x et j^ à la fois, la courbe admet Torigine comme centre.
Nous obtiendrons la dérivée y'^ comme nous l'avons déjà indiqué (n^ 249), en différentiant l'équation (1), ce qui donne
nous déterminerons ainsi la tangente en un point quelconque de la courbe. Nous trouverons les maxima et minima de y en annulant la
dérivée -^ , c'est-à-dire en écrivant fi = 0^ et de même les maxima dx ,
dx et minima de x en annulant la dérivée -7— de a?, c'est-à-dire en
dy
écrivant fy^O. Les points singuliers sont ceux pour lesquels /*« et fy sont nuls tous les deux ; nous avons vu au n"" 252 comment on détermine les tangentes aux différentes branches de la courbe qui passent en ce point singulier.
263. Asymptotes parallèles anx axes. — Pour qu'une courbe ait une asymptote parallèle à Oy (n^ 260), il faut que l'ordonnée puisse devenir infinie pour une valeur finie de l'abscisse ; or l'équation (i) ne peut avoir de racine y infinie pour une valeur finie de x que si, pour cette valeur, le coefficient de la plus haute puissance de y devient nul, c'£st-à-dire si oo(x) est égal à zéro ; nous avons donc ce résultat :
Les abscisses des asymptotes parallèles à Oy se trouvent parmi les valeurs de x qui annulent le coefficient du terme de plus haut degré en y.
En général, lorsque x s'approche d'une racine de <po(x), il y a des valeurs réelles de y qui deviennent infinies ; il y a alors des branches réelles de la courbe qui sont asymptotes à la droite ayant cette racine pour abscisse ; si les valeurs de y qui deviennent infinies sont imaginaires, la droite n'est asymptote à aucune branche réelle de courbe.
De la même manière, on obtient les asymptotes parallèles à Ox en cherchant les valeurs de y qui annulent le coefficient de la plus haute puissance de x dans l'équation ordonnée par rapport à cette variable.
Comme exemple, considérons la courbe du second ordre représentée par Téquation
xy — 2a? — 3y H- 4 = 0 ;
X îX y n'entrent qu'au premier degré au plus; le coefficient de y est X — 3 et celui de x est y — 2 ; en annulant ces coefficients, nous voyons que les droites parallèles aux axes représentées par les équations x = 3 et y = 2 sont asymptotes de la courbe.
264. Asymptotes non parallèles aux axes. — Nous obtiendrons les asymptotes non parallèles aux axes de coordonnées en appliquant le théorème du n^ 261 ; le coefficient angulaire c d'une asymptote est
la limite de -^ et l'ordonnée à l'origine d est la limite de y — ex
lorsque x augmente indéfiniment.
Ordonnons le premier membre de l'équation en écrivant d'abord les termes de degré le plus élevé par rapport à x et ^ ; nous désignerons leur ensemble par cpm(x, y), m étant l'ordre de la courbe ; nous désignerons ensuite par <pm--i(^^<y) l'ensemble des termes de degré m-— 1, et ainsi de suite; nous écrirons ainsi l'équation sous la forme
(2) f{x, y) = ^nix, y) -f- <p«-i(ar, y) + ... =0.
Pour déterminer le coefficient angulaire c d'une asymptote, nous
mettrons en évidence le rapport ^\ pour cela, nous remarquerons que
pour toute valeur de p, <pp(a;, y) peut être remplacé par xP^pi i , — ) » le dernier facteur se déduisant de 9p(x, y) par le changement de x en 1 et de y ' en -^ > Si nous efi'ectuons cette opération pour tous les
termes, et si nous divisons par af^ les deux membres de l'équation (2), nous la remplacerons par la suivante :
si nous faisons croître x indéfiniment, et si dans ces conditions -^
a une limite égale à c, le premier terme de l'équation (3) devient ?ii(^^) 6^ les suivants deviennent tous nuls; nous avons donc à la limite la relation
^Ai ?.(i,c) = 0;
VoGT. - Math. 9up. 26
nous déduisons de là ce premier résultat :
Le coefficient angulaire c d'une asymptote est une racine de V équation obtenue en annulant les termes de plus haut degré de l'équation de la courbe après y avoir remplacé x par i et y par c.
En général, à chaque racine c de cette équation correspond une asymptote; pour la déterminer, posons dans Inéquation (3)
la limite de $ pour x infini est, d'après ce que nous avons vu au n^ 261, Tordonnée à l'origine d de Tasymptote considérée. L'équation (3) devient après la substitution précédente
développons chacun des termes du premier membre suivant les puissances de ^, d'après la formule de Taylor; nous avons
(5) cp«(i,c)-^^<p;;.(i,c) 4.J^^^;(i,c)-h ... + *^ cp„.,(i , c) ■+-^<p;;.-i(i , c) H
les symboles (pi,(l , c), cp^(l , c), ... désignant les dérivées par rapport à c des fonctions (pm(i , c), ... .
Le premier terme est nul d'après l'équation (4) ; les termes de la
deuxième colonne contiennent — et ceux des colonnes suivantes -r
au moins en facteur ; si nous multiplions le premier membre par x, et si nous mettons ensuite — en facteur dans les termes qui le con-
tiennent encore, nous mettons l'équation sous la forme
Lorsque x augmente indéfiniment, tous les termes suivant les deox premiers deviennent nuls ; si 8 a une limite égale à d, cette limite satisfait dès lors à l'équation (6) (^?;„(i,c)-h<p,n-i(i,c) = 0;
nous avons donc ce deuiième résultat :
L'ordonnée à Vorigine d d'une asymptote de coefficient angulaire c est fournie par V équation (6).
Si c est racine simple de Téquation (4), (pm(l , c) n'est pas nul, et l'équation (6) donne pour d une valeur déterminée ; au contraire, si c est racine multiple, fm(l , c) est nul; dans ce cas, si la racine multiple c n'annule pas en même temps <p«,^(l , c), l'équation (6) donne pour d une valeur infinie, et l'on dit que l'asymptote est rejetée à l'infini.
Lorsque f i,(l , c) et <pm-i(i , c) sont nuls, les trois premiers termes de l'équation (5) sont nuls ; les termes suivants contiennent au
moins — en facteur ; on multiplie alors les deux membres par la pre-
mière puissance de x entrant dans les dénominateurs, puis on fait croître x indéfiniment ; on obtient comme précédemment une équation donnant la limite d de S. Nous n'entrerons pas dans le détail du calcul, que Ton peut effectuer dans chaque cas particulier d'après les indications précédentes.
Remarque. — Les droites issues de l'origine et parallèles aux asymptotes sont appelées directions asymptotiques ; leurs coefficients angulaires sont les racines de l'équation (4). L'ensemble de ces droites
esireprésentépar l'équation obtenue en remplaçant c par -^; si l'on chatte le dénominateur, cette équation devient
Nous voyons que l'on obtient V équation représentant Vensemble des directions asymptotiques d'une courbe algébrique en égalant à zéro ^ensemble des termes de plus haut degré de l'équation de cette courbe.
Nous appliquerons ces considérations aux courbes du second ordre dans le chapitre suivant.
266. Exemple, — Considérons la courbe représentée par l'équation
(7) x»-4-y^ — 3aa:y = 0,
où a est une constante positive ; le coefficient de la plus haute puissance de y étant indépendant de x, la courbe n'a pas d'asymptote parallèle à Taxe des y ; pour une raison analogue, elle n'en a pas parallèle à Taxe des x . Cherchons les autres asymptotes ; nous avons ?«(i , c) = i -h c* , et l'équation (4) a une seule racine réelle c ^ — 1 .
APPLICATIOiSS GÉOMÉTRIQUES
<pm(i , c) est égal à 3c* et <p«t(l i c) à — 3ac ; en donnant à e la valeur — i , Téquation (6) donne d = — a ; la courbe a donc une seule asymptote réelle représentée par Téquation
Pour constniire la courbe, nous remarquerons d'abord qu'elle passe à Torigine et qu'elle y a un point double (n** 253) ; les tangentes en ce point sont représentées par l'équation xy = 0 et sont les deux axes de coordonnées.
L'équation est du troisième degré par rapport k y, en l'ordonnant par rapport à cette variable, nous l'écrirons
y3 — *^axy -\- x^ = 0;
nous savons qu'une équation du troisième degré a trois racines réelles si la quantité 4jo^ -h 27qr* est négative, une racine double si cette quantité est nulle, et une seule racine réelle si elle est positive. Ici, 4/>' + 21 q^ a pour valeur 21x\x^ — 4a').
Si X est compris entre 0 et a v/4 , il y a trois valeurs de y réelles ; leur produit — x^ est négatif, leur somme est nulle, par suite deux des valeurs de y sont positives et la troisième négative.
Si X est égal à a^, les deux valeurs positives de y sont confondues et égales à ay^; si
X est >a^y y a une seule valeur réelle négative, et si x est < 0, y a une seule valeur réelle positive.
Nous obtiendrons les maxima et minima de y en annulant /"i, c'est-à-dire en posant
(8) /■i = 3x«-3ay = 0.
Les équations (7) et (8) ont pour racines d'abord x = 0 , Fig. 81. y = 0, ce qui fournit l'ori-
gine, point singulier, ensuite
X — 0^2, y = ayi, qui correspondent à un maximum de y .
La courbe a la forme de la figure 81 ; on rappelle folium de Descartes,
266. Cas où les coordonnées sont fonctions d*un paramètre. — Nous allons considérer le cas où les coordonnées des points d'une courbe sont fonctions d'un paramètre ; un tel mode de représentation peut être donné à Tavance, ou peut parfois se déduire de Téquation cartésienne de la courbe.
Par exemple, coupons la courbe précédente par une droite issue de Torigine et de coefficient angulaire t ; nous obtiendrons les abscisses des points de rencontre en faisant y = lx dans Téquation de la courbe, ce qui donne
Cette équation a une racine double nulle, qui correspond à deux points de rencontre de la droite et de la courbe confondus à Tori-
gine; la troisième racine est égale à -r^ — Jz ^* ^^ l'abscisse du
dernier point de rencontre M de la courbe et de la droite ; l'ordonnée de ce point est égale à te, de sorte que les deux coordonnées ont pour valeurs
(9) ^=rT-7i' y
Le procédé que nous venons d'indiquer se généralise à d'autres courbes que le folium. Si une courbe algébrique est rencontrée en un seul point variable M par les lignes successives d'une famille de droites ou de courbes dépendant d'un paramètre /, les coordonnées de ce point s'expriment facilement au moyen de ce paramètre, et les expressions sont rationnelles ; on dit que la courbe est unicursale.
Par exemple, une droite tournant autour d'un point fixe quelconque d*une conique ou autour du point double d'une courbe du troisième ordre possédant un tel point, rencontre la courbe en un point fixe et en un seul autre point variable; les coordonnées de ce dernier point s'expriment rationnellement au moyen d'un paramètre.
Lorsque l'on veut construire une courbe dont les points ont des coordonnées fonctions d'un même paramètre i ,
on étudie la variation des deux fonctions /" et (p lorsque l varie de
— 00 à + 30 , et Ton dresse un tableau des valeurs remarquables de
ce paramètre ; on détermine en particulier celles qui annulent x ou
y, ou les rendent infinis, ou les rendent soit maximum soit minimum.
rfV 9'(0
Le coefficient angulaire d'une tangente est égal à -t^ ou à -jTTjr •
Si pour une valeur de t finie ou infinie, x et y sont simultanément nuls, la courbe passe à Torigine, et le coefficient angulaire de
la tangente en ce point est la limite du rapport -^ ou du rapport --^ -
Si une valeur de l rend infinie une des coordonnées, par exemple y , tandis que Fautre x reste finie, la courbe a une asymptote parallèle k Oy , ayant pour abscisse la valeur finie de x .
Si une valeur de l rend x et y simultanément infinis, la courbe a encore une branche infinie ; pour déterminer Tasymptote à cette branche, s'il en existe, on calcule son coefficient angulaire (n^ 261) en
cherchant la limite c de -^ lorsque i s'approche de la valeur consi-
dérée, puis on calcule Tordounée à Torigine en cherchant la limite d de y — ex.
Si 1 on considère par exemple la courbe définie par les équations (9), on voit que x et y sont nuls simultanément pour 1 = 0 et pour
l = oo : les limites de — sont respectivement égales à 0 et à Too ,
et Ton voit que la courbe a pour tangentes à l'origine les deux axes de
coordonnées, x et y sont infinis pour / = — 1 ; la limite de -^
est alors égale à — 1 et celle de y -hx à — a ; on en conclut que la droite
est asymptote, comme nous l'avons déjà trouvé. Les dérivées de a; et de y sont
elles s'annulent en changeant de signe pour < = 0 , v/2 et v/ y ; le tableau des valeurs remarquables de l, ainsi que de la variation de x
et de j^ , est le suivant :
A l'aide des indications de ce tableau, nous retrouverions la courbe de la figure 81.
