Gycloïde
Comme exemple de courbe transcendante dont les coordonnées s'expriment au moyen d'un paramètre iy nous mentionnerons la cycloïde ; on appelle ainsi la courbe décrite par un point M d'une circonférence roulant sans glisser sur une droite.
Prenons cette droite
comme axe des X, et comme
origine 0 une des positions du point mobile M lorsqu'il est situé sur
cette droite (fig, 82) ; il résulte de ce choix que dans la position de la
— ao
croit
décroît
croît
croît
décroit
min. 0
croît
max. a^i décroît
Jt/2 croit
av/2
décroit
max. av/l
décroît
circonférence mobile pour laquelle son centre est situé sur l'axe des y en Go , le point décrivant la courbe est confondu avec le point 0.
Supposons que la circonférence occupe une nouvelle position G après avoir roulé sur le segment OA de Ox ; le point décrivant est passé de 0 en M , de telle sorte que l'arc AH est égal à AO , et de même sens. Considérons un système d'axes auxiliaires Cxi, C^i issus
i08 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
du point C et dirigés respectivement en sens inverse de Oa; et Oy ; si nous désignons par a le rayon de la circonférence et par t Tangle ACM dont a tourné le rayon passant par M à partir de la position initiale CoO , nous avons :
(OA) = (arcAM) = a^ Les coordonnées du point M dans le système Cxiyi étant Xi = (HM) = a sin <, y, = (CH) = a cos / , nous en déduisons, dans le système primitif,
X = (OA) — Xi = a(t — sin i) , y = (OCo) — y 1 = a(i — cos t) .
Telles sont les expressions des coordonnées d'un point de la cycloïde en fonction du paramètre t ; lorsque celui-ci varie de 0 à 27r , la circonférence roule d'une longueur égale à 2ica , et le point M revient en 0' sur Ox après avoir décrit Tare OPO' de cycloïde. Lorsque t prend des valeurs comprises entre 27r et iiz , les valeurs de x et de y ne diffèrent des précédentes qu'en ce que x est augmenté de 2:ia ; on obtient ainsi un nouvel arc O'P'O" identique au premier, et ainsi de suite ; il en est de même si l prend des valeurs négatives.
La courbe passe à l'origine ; le coefficient angulaire de la tangente
en ce point est égal à la valeur de -^ pour < = 0; or, on a -t^ = t-— ;
ce rapport se présente pour t = 0 sous la forme -^ ; en appliquant
la règle de l'Hôpital (n** 174), la vraie valeur de -^ est égale à celle du
cos l quotient des dérivées -; — -» et il est infini pour < = 0 ; on en conclut
que la tangente à l'origine est l'axe des y. Le point 0 est un point de rebroussement de la courbe, et il en est de même de 0' , 0', .... Si l'on fait rouler la circonférence C sur une autre circonférence, et extérieurement, la courbe décrite par le point M s'appelle une épicycloTde ; si la circonférence G roule intérieurement sur une autre circonférence, la courbe décrite par M s'appelle une hypocycloîde.
