Construction d'une courbe en coordonnées polaires

Nous supposons la courbe représentée par une équation entre le rayon

vecteur p et l'angle polaire 6 résolue par rapport à p , de la forme

Nous ferons varier 6 de — oo à -l-oo et nous étudierons les variations de la fonction p ; si p s'annule pour une valeur de 6 , par exemple pour 6o , la courbe passe à Torigine, et la tangente en ce point est la droite faisant avec Taxe polaire Tanglc Oo ; cette droite est en effet la limite des positions d'une sécante passant par Torigine et par un point voisin correspondant à 0 , lorsque 6 tend vers 6o .

Considérons par exemple la spirale (TArchimède représentée par Téquation

où a est une constante positive ; p s'annule pour 6=0, par suite

la courbe est tangente à l'origine à l'axe polaire. Lorsque 0 varie de 0 à -{- 00 , on obtient une portion de courbe OABCDE ....

dont les rayons vecteurs sont positifs (/îjr. 83) ; lorsque 6 varie de 0 à — 00 , on obtient une autre portion de courbe OAB'CD'E . . . dont les rayons vecteurs sont négatifs ; la valeur absolue de p correspondant à un angle négatif tel que (Oo;, OM) doit alors être portée sur la direction opposée OM'. On vérifie que les deux portions de la courbe

sont symétriques par rapport à la perpendiculaire Ot/ à l'axe polaire. Nous avons vu Çp9 256) qu'on détermine la tangente en un point

par l'angle V qu'elle fait avec le rayon vecteur, et nous avons trouvé

qu'il est donné par la formule

pc/ô__ p

Fig. 83.

tgV:

Dans la plupart des cas, le rayon vecteur p dépend non de l'angle 6 immédiatement, mais d'une ou de plusieurs lignes trigonométriques

de cet angle 6 , ou bien de ses multiples ou de ses sous-multiples, comme dans les équations suivantes :

sin' 6 . e

^ cos 6 ^ 3 '

il n'est pas nécessaire alors de faire varier 0 de — oo à + od ; dans le premier exemple, il suffit de faire varier 6 de 0 à 2^ , car, pour les autres valeurs de Tangle polaire, les lignes trigonométriques et p reprennent la même valeur; dans le second exemple, il suffît de faire varier 6 de 0 à 6ic, Tare sous le signe sinus variant alors de 0 à 2i:.

Dans beaucoup de cas, il est même possible de resserrer l'intervalle de variation de 6 , en s'aidant des symétries que peut posséder la courbe. Dans le premier des exemples que nous venons de mentionner, nous remarquerons que si Ton donne à 0 deux valeurs telles que d et 2n — 01 , on obtient la même valeur pour p ; les points correspondants sont symétriques par rapport à Taxe polaire Ox ; il suffit donc de faire varier 6 entre 0 et ::, et de prendre ensuite la symétrique par rapport à Ox de la portion de courbe obtenue.

Si maintenant nous donnons à 0 deux valeurs supplémentaires, telles que a et ^ — a , les directions positives sont symétriques par rapport à Oy ; les valeurs correspondantes de p étant égales et de signes contraires, nous voyons que les points correspondants sont symétriques par rapport à Ox. 11 résulte de là qu'il suffit de faire varier 6

de 0 à -^ et de prendre la symétrique par rapport à Ox de la courbe obtenue.

Dans le second exemple, nous ferons varier d'abord 6 de 0 à -^ ;

lorsqu'il prendra ensuite les valeurs de -^ à Stc, p reprendra en sens

inverse les valeurs qu'il a déjà acquises, et la nouvelle portion de courbe sera symétrique de la première par rapport à la droite faisant avec Ox

l'angle -5-- Ensuite loreque 6 variera de 3:t à 6it, p prendra des

valeurs symétriques de celles qu'il a déjà acquises, et la nouvelle courbe se confondra avec la précédente.

269. Limaçon de Pascal. — Ëtant donnée une circonférence et un point 0 sur cette courbe, si l'on porte sur cbaque rayon vecteur OM

[fig. 84) un vecteur MP constant, le lieu du point P s'appelle limaçon de Pascal ; nous allons déterminer son équation en coordonnées polaires et le construire.

Prenons le point 0 comme pôle et le diamètre OÂ comme axe

polaire, désignons par a le diamètre de la circonférence et par 6 la valeur du vecteur MP; comme (OM) est égal à a cos d , le rayon vecteur du point P a pour valeur

Fi?. 81.

p = a cos 6 4-6.

Nous allons construire la courbe représentée par cette équation; il suffit de faire varier 6 de 0 à 2tc; en remarquant que p prend la même valeur pour a et 2^ — a, nous pouvons nous limiter à Tintervalle de 0 à tt, et prendre ensuite la symétrique par rapport à Ox de la portion obtenue.

Supposons b positif; lorsque 6 varie de 0 à -k- > cos 0 est positif, et Ton a en valeur absolue P = 0M4-MP; si 6 varie de

-^ à 7c , cos 6 est négatif, et p

est égala la différence des valeurs absolues des deux vecteurs tels que M'P' et OW {fig, 84). Remarquons encore qu'à chaque point M de la circonférence correspondent deux points P et P, du limaçon relatifs à des angles 6 différant de it ; ils sont tels que MP et MPi sont égaux à 6 en valeur absolue, mais de sens contraire; nous en concluons que si Ton

Fig. 83.

Fig. 86.

change le signe de 6 , la courbe n'est pas modifiée ; nous pouvons donc nous limiter au cas où b est positif.

Si Ton a 6 > a, p ne s'annule jamais et reste positif ; la courbe a la forme de la figure 84. Si Ton a au contraire 6 <Ca, p s'annule pour

deux valeurs de 0 comprises Tune entre -^ et tu, Fautre entre r,

et — ' et devient négatif dans

l'intervalle de ces deux valeurs; la courbe a la forme de la figure 83 et présente un point double au pôle ; les tangentes en ce point sont déterminées, comme nous l'avons dit au numéro précédent, par les valeurs de 0 annulant le rayon vecteur. Si l'on a enfin 6 = a , p reste positif et s'annule pour 0 = it; la courbe a la forme de la figure 86 ; elle présente au pôle un point de rebroussement; on l'appelle quelquefois dans ce cas cardioïde,

devient infini pour une valeur de 6 telle que Oo, il existe une branche infinie de courbe, et la direction asymptotique correspondante fait l'angle 6o avec l'axe polaire; pour déterminer l'asymptote elle-même, nous calculerons le vecteur OD (fig. 87) compris entre l'origine et l'asymptote sur la droite dirigée faisant avec l'axe polaire l'angle

Oq -h Y» ^^^^ appellerons d la valeur relative de ce vecteur, d est la limite de la projection du rayon vecteur p sur la direction OD lorsque 0 tend vers 6o ; nous avons donc

d = lim j p cos (^0 "^ Y ~" ^) I "^ *™ tP ^^^ ^^ '

nous calculerons cette limite directement ou par la règle de THopital. Considérons par exemple la courbe représentée par Téquation

^ 1— 2cos6'

p devient infini pour cos ô = ^ » c'est-à-dire pour 0 = — et 0 = 2ir — -\ à la première direction asymptotique con*espond une valeur de d égale à

lim[p sin (^0 -|j J = lim -j-f-^;

cette limite est égale au rapport des dérivées des deux termes de la

4cos(ô~|) dernière Traction, c'est-à-dire au rapport -\ lorsqu'on y

•JT

4 2 sin 6

fait G =^, et elle est égale à "75*, nous aurons donc Tasymptote en portant un vecteur égal à "y^ à partir de Torigine sur la direction ^ -h 9- • L'autre asymptote, correspondant à la direction 2r — ^ , est symétrique de la première par rapport à Ox.

Pour construire la courbe, nous ferons varier d'abord d de 0 à tu; la dérivée pé étant alors négative, p décroît ; il passe de — 4 à — 00

quand 6 varie de 0 à — , puis de -i- 00 à - quand 6 varie de ^ à w.

Lorsque 0 varie de tc à 2ir, p repasse en sens inverse par les mêmes valeurs, et la partie correspondante de la courbe est symétrique de la première par rapport à Ox.

La courbe a la forme indiquée par la figure 87 ; d'après ce que nous avons dit au n** 96, elle est une hyperbole ayant pour foyer l'origine.