CHAPITRE IV ÉTUDE DES COURBES DU SEGOITII

271. Classification des courbes du second ordre. — Une éqnaiMft du second degré entre x et j^ peut toujours être ramenée à la forme

(1) f{x, y) = Aa:* H- 2Bxy H- Cy« -h 2Dx-H2Ey -h F = 0.

Les lignes qu'elle est susceptible de représenter lorsqu'on donne aux coefficients des valeurs numériques sont rangées dans différentes catégories; une première classification est basée sur le nombre des directions asymptotiques relatives aux branches infinies qu'elles peuvent posséder.

Supposons qu'une ligne représentée par l'équation (f) ait une branche infinie, et qu'un point M, de coordonnées (x, y), s'éloigne indéfiniment sur cette branche ; nous allons chercher la limite de la direction de la droite OM joignant l'origine à ce point.

Si a est l'angle de cette droite avec Ox, et si p représente le vecteur OM, nous pouvons remplacer x ti y par pcosa etpsina; si nous faisons cette substitution dans l'équation (i), nous avons la relation

(2)p*(A cos*a-+-2BsinacosaH-Csin*a)H-2p(Dcosa-+-Esina)-hF=0.

Lorsque le point M s'éloigne indéfiniment, p devient infini ; en divisant les deux membres de l'équation précédente par p* et passant à la limite, nous avons l'équation

A cos*a H- 2B sin a cos a -+- C sin*a = 0, qui fournit en général deux directions pour la limite de la droite OM.

L'ensemble des droites aiasi déterminées est représenté par r équation

?2 (a?, y) = Aa;« -h 2ftcy 4- Cy » = 0,

tfi désignant les termes du second degré de f(x, y)\ leurs coefficients

angulaires sont les racines de Téquation obtenue ^n posant ^s=c;

elle est

(3) cpj (i, c) = A -h 2Bc -f. Gc2 == 0.

D'après ce que nous avons dit au n"" 264, l'équation (3) détermine les directions asymptotiques de la courbe ; nous voyons donc que cellesci ne diffèrent pas des directions des droites joignant Torigine aux points à Tinfini sur la courbe.

Suivant la nature des racines de l'équation (3), nous distinguerons les cas suivants :

i® Si B^ — AC < 0, l'équation a ses racines imaginaires, la ligne n'a pas de branche réelle s'étendant à l'infini ; on dit qu'elle est du genre ellipse.

2® Si B^ — AC>0, l'équation a ses racines réelles et distinctes; la ligne a des branches infinies dans deux directions ; on dit qu'elle est du genre hyperbole,

3^ Si B^ — AG = 0, l'équation a ses racines réelles et égales ; la ligne a des branches infinies dans une seule direction ; on dit qu'elle est du genre parabole.

Nous pouvons ajouter que dans ce dernier cas les termes du second degré ^(x, y) forment un carré parfait. Remarquons aussi qu'une circonférence est du genre ellipse car dans son équation on a B = 0, A = C et B« — AC est négatif.

272. Construction des courbes du second ordre. — Pour construire une courbe représentée par une équation telle que (1), il suffit d'appliquer les méthodes développées dans les deux chapitres précédents. La plus simple consiste à résoudre l'équation par rapport à l'une des variables; nous avons déjà employé. cette méthode au n"* 260 pour construire la courbe représentée par l'équation

(4) 2a:« — 2ay — ar4-4y — 1=0;

elle est du genre hyperbole car C est nul, et B^ — AC est positif.

Nous allons donner un autre exemple en construisant la courbe représentée par Téquation

ici A = 5, B = — 2, C = 4, de sorte que B« — AC = — 16; ce nombre étant négatif, la courbe est du genre ellipse. Pour la construire, nous résoudrons Téquation par rapport à y, et nous aurons

A chaque valeur de Tabscisse x correspondent deux valeurs de y et par suite deux points de la courbe ; on obtient leurs ordonnées en

augmentant et diminuant l'ordonnée de la droite y = -x d'une quantité égale au radical R = \ — a;* H- 6a:.

Celui-ci n'est réel que si x est compris entre les racines 0 et 6 ; nous en concluons que la courbe est tout entière comprise entre les parallèles à Oj^ d'abscisses 0 et 6. Lorsque x croît de 0 à 6, R qui est d'abord nul passe par un maximum R = 3 pour x = 3, demi-somme des deux racines, puis décroit jusqu'à devenir nul ; nous pouvons ajouter qu'il prend des valeurs égales pour des valeurs de x dont la demi-somme est égale à 3.

Construisons la droite OD (Jig.SS) de coefficient angulaire ^«t

les parallèles à cette droite dont les ordonnées à l'origine sont -h 3 et — 3 ; ces deux droites, l'axe des y et la parallèle à cet axe d'abscisse 6 forment un parallélogramme à l'intérieurduquel se trouve placée la courbe.

La droite D partage en deux parties égales les cordes telles que MMi parallèles à Oy ; de même la parallèle à l'axe des y d'abscisse 3 partage en parties égales les cordes parallèles à D ; la courbe a pour centre le centre du parallélogramme.

Nous trouverons les maxîma et minima de y en annulant la déri-

Fig. 88.

vée j^' ; comme nous Tavons dit au n^ 262, nous obtiendrons cette dérivée en différentiant Téquation (5), ce qui donne

(iOa: — 4y — 24) (/« -f- (— 4a; H- 8y) rfy = 0. En écrivant que -^ est nul, nous aurons Téquation

iOa; — 4y — 24=0;

elle représente une droite dont les points d'intersection avec la courbe correspondent au maximum ou au minimum de y ; en ces points la tangente est parallèle à Ox.

Gomme dernier exemple, nous allons construire la courbe représentée par Téquation déjà considérée au n® 79, et qui est

(7) x* — 2xyH-y« — 2x — 21/4-1=0.

Comme A, B et C sont égaux à Tunité, B' — AC est nul, et la courbe est du genre parabole ; la direction asymptotique double est représentée parles termes du second degré égalés à zéro, c'est-à-dire par (x — y)* = 0, et elle est celle de la bissectrice de Tangle xOy .

En résolvant Téquation par rapport à y, nous obtenons

y = a;-f-!dzv/4Ï;

comme dans l'exemple précédent, nous construirons (Jig, 89) la droite D

représentée par y = a;-f-i, et pour chaque valeur de x nous augmenterons et nous diminuerons les ordonnées de cette droite de la quantité v^ • Cette quantité n'est réelle que si x est positif ; nous en concluons que la courbe s'étend à partir de l'axe Oy du côté des x positifs. Nous pouvons vérifier qu'elle est tangente aux deux ^ axes de coordonnées aux points

dont l'abscisse ou l'ordonnée sont égales à 1.

Nous allons démontrer que les lignes représentées par l'équation

du second degré ne diffèrent pas de la circonférence, de l'ellipse, de

l'hyperbole ou de la parabole que nous avons étudiées dans le chapitre V VoGT. — Math. sup. â7

Fig. 89.

418 APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES

de la deuxième partie, à moins que Féquation ne soit satisfaite par aucune valeur réelle de x et de y^ ou bien que son premier membre soit décomposable en deux facteurs du premier degré en x et y; dans ce dernier cas, la ligne qu'elle représente se compose de deux droites, et Ton obtient les équations de ces droites en égalant à zéro chacun des deux facteurs.

La démonstration résultera de Tétude que nous allons faire de la transformation de coordonnées.

273. Transformation de coordonnées cartésiennes dans le plan. —

Lorsque Ton possède dans un système d'axes Ox, Oj^ Téquation d'une courbe, et que Ton veut ultérieurement en étudier les propriétés, il y a souvent avantage à choisir de nouveaux axes placés d'une manière plus simple par rapport à la courbe, et à déterminer Téquation de cette courbe par rapport à ces nouveaux axes.

Le problème de la transformation de coordonnées est le suivant : Étant donnés deux systèmes d'axes Ox, Oy^ O'x' , O'j^'^ exprimer les coordonnées x et y <Fan point quelconque dans le premier système au moyen des coordonnées x' et y' da même point dans le second. Lorsqu'il est résolu, il suffit de remplacer, dans l'équation d'une courbe rapportée au premier système, x et y par leurs valeurs en fonction de x* et y' pour avoir l'équation de cette courbe dans le second . Nous examinerpns trois cas :

1« Cas, — Les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et dirigés dans le même sens.

Ces axes O'x', O'y' sont complètement déterminés par les coordonnées x^, y^ de la nouvelle origine 0' ; considérons un point quelconque M et les deux vecteurs 00' et O'M, ainsi que leur résultante OM (A^-90); leurs projections sur l'axe des x sont respectivement égales à Xo, x'etx, et sur l'axe pj QQ des y à y©, y' et y ; le théorème des pro-

jections nous donne alors les relations (8) x=x^-hx', y=yo+y'.

Ces formules résolvent le problème, et elles subsistent dans tous les cas, que les coordonnées soient obliques ou rectangulaires.

Fig. 91.

2* Cas. — Les nouveaux axes ont même origine que les premiers.

Ëtant donné (Jig. 9!) le système d'axes rectangulaires Ox^ Oy, le nouveau systèfne Ox' , Oy' sera complètement déterminé, qu'il soit rectangulaireou oblique, parlesangies (fix^Ox') et (Ox, Oy'). Considérons un point quelconque M, formons le contour OP'H de ses coordonnées x', y' dans le nouveau système, et projetons ce

contour et sa résultante sur les axes primitifs Ox, Oy ; le théorème des

projections nous donne les formules

^ a? = x' cos (Ox, Oxf) H- y' cos (Ox, Oy'),

iy = x' cos (Oy, Ox')-hy' cos (Oy, Oy').

Le cas ordinaire est celui où le nouveau système est rectangulaire et présente la même disposition que le premier ; en désignant Tangle

(Oa:, QxT) par a, Tangle (Ox, Oy') est égal à a H- -j et les formules

(9) deviennent

X = x' cos a 4-y' cos I a4- -|^ \ = x' cos a — y' sin a, ' y = x' cos f a — ^J -h y' cos a = x' sin a -h y' cos a.

3* Cas. — On fait un changement quelconque d'axes.

Soient (fig. 92) O'x', O'y' les nouveaux axes ; ils sont complètement déterminés par les coordonnées xq, yo de la nouvelle origine, ainsi que parles angles (Ox, O'x'), (Ox, O'y'). Prenons un système d'axes intermédiaires O'x,, (Vyi parallèles aux premiers et de même origine que les seconds, et appelons x,, y^ les coordonnées d'un point M dans ce système ; les formules (8) nous donnent

x = xo^-xi, y = yoH-yi,

et les formules (9) ou (10) nous donnent les valeurs de x, et y^ en

Fig. M.

420 APPLICATIONS GfOMÉTRIQUES

fonction de x' et y' ; nous en déduisons immédiatement les formules cherchées ; dans le cas simple où les nouveaux axes sont rectangulaires, elles sont

( a; = «o-f-«'co8« — t/'sina,

( y = yo + a;' sin a H-y' cos a.

Il est essentiel de remarquer que toutes ces formules contiennent les coordonnées au premier degré ; il en résulte que le degré d'une équation algébrique entre a; et y, c'est-à-dire Tordre de la courbe algébrique qu'elle représente, ne change pas lorsqu'on fait une transformation quelconque de coordonnées.

274. Rédaction de l'équation du second degré à deux variables. Genre ellipse ou hyperbole. — Centre. — Ëtant donnée la courbe représentée, dans un système d'axes de coordonnées Ox, Oy par Téquation générale du second degré écrite sous la forme (i), nous nous proposons de chercher un nouveau système d'axes tel que la courbe soit représentée, dans ce nouveau système, par une équation plus simple.

Nous nous placerons d'abord dans le cas où B^ — AC n'est pas nul; la courbe est alors du genre ellipse ou hyperbole ; nous chercherons à faire disparaître successivement les termes du premier degré, puis le terme renfermant le produit xy^ s'ils existent, et à ramener l'équation à la forme

Occupons-nous d'abord des termes du premier degré ; l'importance de leur disparition résulte du théorème suivant :

Pour que l'origine des coordonnées soit centre d'une courbe du second ordre, il faut et il suffit que Véquation de cette courbe ne renferme pas de terme du premier degré.

Supposons en effet que nous tracions par l'origine 0 une droite faisant avec Ox Fangle a, et que p désigne la valeur relative du vecteur issu de 0 et terminé en un point de rencontre de cette droite avec la courbe représentée par l'équation (i); p est une racine de l'équation (2). Pour que le point 0 soit centre de la courbe, il faut et il suffit que cette équation (2) ait ses racines égales et de signes contraires

quel que soit a, c'est-à-dire que D et E soient nuls, ce qu'il fallait démontrer.

Si Téquation d'une courbe dû second ordre rapportée à deux axes Ox, Oj^ renferme des termes du premier degré, nous effectuerons une transformation de coordonnées en prenant deux nouveaux axes 0 V, O'y' parallèles aux premiers, et nous déterminerons les coordonnées a:ot yo de la nouvelle origine 0' de telle sorte que les termes du premier degré disparaissent dans la nouvelle équation.

La transformation est définie par les formules (8), et Téquation de la courbe dans le nouveau système d'axes est

/(xo-hx', yo-*-y)=0;

en développant le premier membre par la formule de Taylor (n® 164),

elle s'écrit : .

(12) Ax'« + 2Bx'y' -h Cy'« -h A x' + n. y' -h /-(«o, yo) = 0.

Si nous annulons les coefficients de x' et de j^', nous avons, après division par 2, les équations

*/i. = Aa?oH-Byo-*-D = 0,

-/^;. = Rro-4-Cyo-+-E = 0;

elles ont toiyours une solution et une seule, car le déterminant des coefficients des inconnues, que nous appellerons 8, a pour valeur