I. Multiplication de deux monômes entiers positifs. — En

s'appuyant : 1° sur les principes arithmétiques relatifs à la multiplication de deux produits de plusieurs facteurs ; 2» sur les propriétés commutative et associative de la multiplication ; 3<* sur le produit de deux puissances d'un même nombre ; 4° sur le calcul des nombres algébriques, on démontre la règle suivante :

Pour multiplier deux monômes entiers positifs Vuapar Vautre, on fait le produit de leurs coefficients, on écrit à la suite toutes les lettres différentes qui entrent dans ces deux monômes, et l'on affecte chacune déciles d'un exposant égal à la somme de ses exposants dans les deux facteurs ; une lettre qui n'entre que. dans

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l'un des facteurs est écrite avec son exposant. Le monôme résultant est le produit des deux monômes considérés.

Cette règle peut s'étendre au cas de plus de deux monômes, car effectuer un pro duit de plusieurs monômes, c'est multiplier le premier par le deuxième, puis le résultat obtenu par le TOisième, et ainsi de suite. Le résultat final est un monôme dont le coefficient est le produit des coefficients des monômes facteurs et dont la partie littérale comprend toutes les lettres différentes qui entrent dans Tensemble de ces monômes, chacune d'elles étant affectée d'un exposant égal à la somme de ses exposants dans les divers facteurs.

Remarque. — Si les deux monômes étaient fractionnaires, on appliquerait la règle de la multiplication de deux fractions, et Ton serait ainsi amené, pour chacun des termes de la fraction résultante, au produit de deux monômes entiers.

30. II. Multipltcation de deux polynômes. — Soient à multiplier lun par l'autre les deux polynômes

Q = e--f-hg-h,

dans lesquels nous représenterons chaque terme par une seule lettre.

On a pour expression immédiate du produit :

PxQ = (a— ^-Hc — d){e — f-h g — h).

Imaginons que Ton attribue aux lettres qui entrent dans chacun de ces polynômes des valeurs numériques quelconques, positives ou négatives, et soient F, Q', a, b\ c\ d', e', f\ g\ /*' les valeurs numériques que prennent dans la circonstance les polynômes P et Q ainsi que les termes qui les composent; on aura

p'xQ' = (a' — ô'-+-c' — rf'X^' — /•'4-^' — /?').

Or, le principe arithmétique relatif au produit de deux i )mmes l'une par Tau tres'appliquant aux nombres algébriques ( 2), on peut écrire

(a' — ô' H- c' -. d')(e' — /•' H- 3' — A') = «V — 6 V -H c'e' — rfV

et comme cette identité est indépendante des valeurs namê* riques attribuées aux lettres des deux polynômes P et Q, il en résulte nécessairement l'équivalence des deux expressions

(a — 6-hc — rf)(e — f-^ g — h) et ae — be-\-ce — de — af-\- bf — cf-\- df-hag — àg -^cg — dg

— ah-i-bh — ch-hdh, ce qui se traduit par Tidentité

(1) (a — b-\-c — d}{e — f-^g — h)^ae — 6e -f- ce — de

— af-h bf — cf+ df-hag — bg-{-cg — dg — ah

H-6A — ch-^dh.

D*oùla règle : Pourmultipliei^ deux polynômes l'un par l'autre, on multiplie successivement chaque terme du polynôme multiplia cande par chaque terme du polynôme multiplicateur; on écrit à la suite les uns des autres les résultats ainsi obtenus et Von affecte chacun d'eux du signe -+- ou du signe — selon qu'il est le produit de deux facteurs de même signe ou de deux facteurs de signes contraires : le polynôme résultant est le produit des deux polynômes considérés.

Cette règle peut s'étendre au cas de plus de deux polynômes, car effectuer le produit de plusieurs polynômes c'est multiplier le premier par le deuxième, puis le résultat obtenu par le troisième, et ainsi de suite. Le résultat final est un polynôme qui se compose de tous les produits que Ton peut former en prenant de toutes les manières possibles un terme comme facteur dans chacun des polynômes considérés : ces produits partiels qui sont les termes du produit général sont précédés du signe -h ou du signe — selon que le nombre de leurs facteurs négatifs est pair ou impair.

La loi de formation d'un tel produit n'étant pas subordonnée à l'ordre des facteurs de ce produit, on trouve ici, pour les

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«polynômes, la justification de ce principe démontré en Arithmétique qu'un produit est indépendant de r ordre de ses facteurs^ en d'autres termes, que la multiplication algébrique est commutative pour les polynômes.