III. Multiplication d'un polynôme par un monôme

Si dans la multiplication d'un polynôme par un polynôme, le multiplicateur se réduit à l'un de ses termes, positif ou négatif, 'l'identité (1) d'où l'on a tiré la règle pour la formation du produit prend la forme

(a — 6 -+- c — d)xe ^ ae — ée -+- ce — de, ou (a — 6-hc — ^X(— /*) ^i-^af-^-bf^cf-^df.

Ce que Ton peut traduire, eu étendant l'idée de multiplication à cette dernière indication, par la règle suivante, qui n'est qu'un cas particulier de la précédente : Pour multiplier un polynôme par un monôme^ on multiplie successivement chaque terme du polynôme par le monôme ; on écrit à la suite les uns des autres les résultats ainsi obtenus en conservant ou en changeant le signe de chaque terme correspondant du multiplicande selon que le monôme multiplicateur est positif ou négatif, I^ polynôme résultant est dit le produit du polynôme par le monôme.

On pourrait arriver directement au même résultat par un raisonnement analogue à celui qui nous a servi pour la multiplication des polynômes.

La mise d'un nombre, d'une lettre ou d'un monôme en fadeur commun^ dans un polynôme, est une conséquence de cette règle.

Remarque. — Un produit de polynômes étant indépendant de Tordre de ses facteurs, on déduit de ce qui précède que le produit d'un monôme par un polynôme s'obtient en intervertissant l'ordre des facteurs et en ramenant ainsi le cas au précédent.

32. IV. Multiplication de deux monômes de signes quelconques. — Si dans la multiplication de deux polynômes, le multiplicande et le multiplicateur se réduisent chacun à l'un

DàDZAT. — liiTHODOL. 24

370 ALGÈBRE THÉOBIQUE

de ses termes, positif ou négatif, l'identité (1) prend la forme de Tune des quatre expressions suivantes :

axe ^ ae,

(-'Ox(-/-) = *A

ce que Ton peut traduire, en étendant Tidée de multiplication à chacune de ces indications, par la règle suivante:

Pour multiplier deux monômes de signes quelconques^ on opère comme si les monômes étaient positifs^ sauf à placer devant /^ résultat Ir signe -^ ou le signe — selon que les deux monômes sont de même signe ou de signes contraires. Le monôme résultant est dit le produit des deux monômes.

On pourrait arriver directement au même résultat par la double considération des valeurs numériques des monômes et du produit des nombres algébriques.

Cette règle peut s'étendre au cas de plus de deux monômes de signes quelconques, pour les mêmes raisons que nous avons données plus haut (29). Le résultat final est un monôme dont le coefficient et la partie littérale s'obtiennent comme s'il s'agissait de monômes positifs et devant lequel on met le signe -h ou le signe — selon que le nombre des facteurs négatifs est pair ou impair.

La loi de formation d'un tel produit n'étant pas subordonnée à Tordre des facteurs de ce produit, on trouve ici, pour les monômes de signes quelconques, la justification de ce principe, vérifié déjà pour les polynômes, qu'un produit est indépendant de Tordre de ses facteurs, en d'autres termes que la multiplication algébrique est commutative pour les monômes de signes quelconques.

33. Polynômes ordonnés. — On facilite la réduction des termes semblables dans la multiplication de deux polynômes en rangeant les termes de chacun d'eux de manière que les exposants d'une même lettre aillent soit en augmentant soit en diminuant du premier terme au dernier, et Ton dispose les

différents produits partiels en lignes horizontales, de façon ; que les termes semblables se trouvent placés verticalement ! les uns sous les autres.

! Ranger les termes d'un polynôme d'après Tordre croissant ; ou décroissant des exposants d*une même lettre c'est ordonner

ce polynôme par rapport à cette lettre.

34. Théorèntefl. — I. Lorsque deux polynômes et leur produH sont ordonnés dans le même sens par rapport à la même lettre y le premier et le dernier teigne du produit sont respectivement^ ians réduction^ les produits du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur et du dernier terme du multiplicande par le dernier tei^me du multiplicateur.

Cette proposition a pour conséquence la suivante : Le produit de deux polynômes est toujours un polynôme^ car il a toujours au moins deux termes.

n. Le produit de deux polynômes homogènes est un autre polynôme homogène dont le degré est exprimé par la somme des degrés des deux polynômes facteurs,