Produits remarquables
(a -h hy = a« -4- iab -h b^, {a — by — à^ — ^ab-hb^, {a 4- b){a - b) = a« ~ é«,
(a -4- 6)-' = a» -h ^a^b h- 3aô' -f- b\ [a — by = a« — Wb h- 3a6* — ¥ .
Des deux premiers on tire
(a H- bY — (a — bf = iab.
§ IV — Division.
36. Définition. — La division algébrique a pour objet de former une expression algébrique, la plus simple possible, dont la valeur numérique soit égale au quotient des valeurs numériques de deux expressions algébriques données, quelles
que soient les valeurs particulières attribuées aux lettres qai entrent dans ces expressions.
On peut encore définir la division une opération qui a pour but, étant données deux expressions algébriques, appelées Tune dividende, l'autre diviseur, d'en former une troisième appelée quotient, dont le produit par le diviseur reproduise le dividende.
La division est, comme en Arithmétique, l'opération inverse de la multiplication.
Le quotient de deux expressions algébriques A et B peut
toujours s'écrire sous la forme fractionnaire — 5 et généra-
lement il n'y a pas d'expression plus simple pour le représenter.
Mais il arrive parfois que cette fraction algébrique peut être ramenée à la forme entière, lorsque ses deux termes contiennent des lettres communes ; opérer cette transformation c'est ce qu'on appelle effectuer une division algébrique.
Nous rechercherons successivement les différentes règles à suivre pour faire cette opération, selon que les termes de la division sont des monômes ou des polynômes et nous commencerons par la division des monômes, car c'est à cette dernière que se ramènent, en dernière analyse, comme nous le verrons par la suite, toutes les divisions algébriques.
37. I. Division des monômes. — i*' Quotient de deux puissances d'un même nombre. — On a vu en Arithmétique (65, II) que le quotient de deux puissances d'un même nombre est ce nombre élevé à une autre puissance marquée par un exposant égal à l^excès de Vexposant du dividende sur celui du diviseur :
fl'"
Mais cette règle n'est applicable jusqu'ici qu'au seul cas où l'exposant du dividende est supérieur à celui du diviseur. Or il peut se faire que l'exposant du dividende soit égal ou intérieur à celui du diviseur. De là, deux autres cas':
Si l'exposant du dividende est égal à celui du diviseur, le
qaotient est Tiinité. En appliquant la règle précédente, on obtiendrait pour quotient une expression de la forme a^, qui n'a aucun sens par elle-même, mais que Ton introduit en Algèbre, dans un intérêt de généralisation, en lui attribuant pour valeur l'unité, ce qui permet d'écrire a^ = i.
Si l'exposant du dividende est inférieur à celui du diviseur, le quotient est représenté par une fraction qui, simplifiée,
prend la forme -^* En appliquant la règle précédente, avec
Thypothèse n^zm-^p^ on obtiendrait pour quotient une expression de la forme a~^, qui n*a aucun sens par ellemême, mais que l'on introduit en Algèbre, dans un but de
généralisation, en lui attribuant la valeur —9 ce qui permet
d'écrire ar^ = — •
aP
Ces deux conventions donnent ainsi un caractère d'absolue généralité à la règle qui détermine le quotient de deux puissances d'un même nombre.
2* Quotient de deux monômes entiers quelconques. — La règle saivante relative au quotient de deux monômes entiers quelconques se déduit de celle de la multiplication de deux monômes :
Pour diviser deux monômes entiers quelconques l'un par Fau- Ire^ on divise le coefficient du dividende par celui du diviseur ^ et Von écrit à la suite du résultat les différentes lettres du dividende, »i affectant chacune d'elles d'un exposant égal à l'excès de son exposant au dividende sur celui qu'elle a au diviseur.
Il va sans dire, toujours d'après la théorie de la multiplication
de deux monômes quelconques, que les coefïicients doivent
être considérés avec leur signe, par suite que leur quotient est
celui de deux nombres algébriques.
D'après cette règle, la division, dont le but est d'obtenir
ne expression entière, n'est possible qu'autant que le divi-
ende contient toutes les lettres du diviseur, chacune avec un
(posant au moins égal à celui qu'elle a dans ce diviseur.
Remarque. — Si les deux monômes étaient fractionnaires,
on appliquerait d'abord la règle de la divisioa de deux frac* lions» puis, dans chaque terme de la fraction résultante, la règle de la multiplication de deux monômes.
38. H. Divtston d'un polynôme par un monôme. — En s'appuyant sur la multiplication d'un polynôme par un monôme, on démontre la règle suivante :
Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise successivement chaque terme du polynôme par le monôme.
Il suit de là que la division n'est possible qu'autant qu'on peut obtenir un quotient entier avec chaque terme du polynôme.
39. III. Division d'un polynôme par un polynôme. — Soient A et B deux polynômes à diviser l'un par Tautre, et qui sont tels que A est le produit de B par un troisième polynôme Q ; ce dernier est ainsi le quotient des deux polynômes proposés. Imaginons que ces trois polynômes soient ordonnés dans le même sens par rapport à la même lettre. Le premier terme de A est ainsi le produit du premier terme de B par le premier terme de Q ; on obtiendra donc ce dernier terme, qui sera le premier du quotient, en divisant les deux autres, le premier par le second. Si de A on retranche ensuite le produitde B parle premier terme trouvé de Q, le reste, que nous représenterons par R, sera le produit exact de B par l'ensemble des termes complémentaires de Q, et si R est ordonné de la même manière que B et Q, son premier terme sera le produit du premier terme de B par le premier des termes complémentaires de 0, autrement dit, par le deuxième terme de Q; ce dernier terme sera donc le quotient du premier terme de R par le premier terme de B. Si de R on retranche le produit de B par le deuxième terme de Q, le reste R' sera le produit exact de B par Tensemble. des termes de Q qui suivent le deuxième ; en opérant sur R' comme sur R et A, on obtiendra le troisième terme de Q, et en continuant ainsi, on arrivera, d'après l'hypothèse faite, à trouver un reste nul : le quotient formé représentera le polynôme Q. De là la règle suivante :
Pour diviser deux polynômes l'un par l'autre^ on les ordonne
par rapport à une même lettre et dans le même sens. On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur^ et l'on obtient le premier terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce premier terme du quotient et Von retranche le produit obtenu du dividende. On divise le premier terme du reste par le premier lerme du diviseur^ et Von obtient le deuxième terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce deuxième terme du quotient et fnn retranche le produit obtenu du reste précédent. On divise le premier terme du deuxième reste par le premier terme du diviseur et Von obtient le troisième terme du quotient. On continue ainsi jusqu'à ce que V opération donne un reste nul ou soit reronnue impossible.
De ce qui précède, il résulte que la division des polynômes est impossible^ ces deux polynômes étant ordonnés par rapport à la même lettre et dans le même sens : 1° lorsque le premier terme du dividende n'est pas divisible par le premier lerme du diviseur, ou que le dernier terme du dividende ne l'est pas par le dernier terme du diviseur ; 2<» lorsque le premier teraie de l'un des restes de la division n'est pas divisible par le premier terme du diviseur, ou que le dernier terme de l'un de ces restes ne l'est pas par le dernier terme du diviseur; 3» lorsqu'on arrive à écrire au quotient un terme de degré égal à l'excès du .degré du dernier terme du dividende sur le degré du dernier terme du diviseur, et que ce terme n'est pas le quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, ou bien, qu'étant représenté par ce quotient, le reste qui suit n'est pas nul.
40, Théorèmes. — I. Lorsque deux jyoUjnomes entiers par mpport à une même lettre x ne sont pas divisibles Vun par lautre, on peut toujours exprimer leur quotient par la iomme d'un polynôme entier en x et d'une fraction qui a pour dénominateur le diviseur et pour numérateur un autre polynôme ^liïeren x de degré moindre que le diviseur : cette expression n'est pombleque d'une seule manière.
