Quotients remarquables

,j*ni __ fjTft

= x'^^ -h ax""-^ 4- a^x^*-^ H- a^x^"^ ...-+- a"*"*

m =:in :

xm-i — . ax"*"-^ H- a«x"»-» — a3j.m-4 ... — a»^*

ap-f-fl

;ym ^ d""* QjM

2rt»«

.r'^-ha''' 1 ar"*~*— oar'^-^-ha'x"'-^ — a^x*"-*... — a*"-*-+

a: 4- fl

a^m-i __ ox*"-' -4- a^x^-^ — cf^ar"»-* ... -+- «w-i

§ V. — Puissanoes.

42. DéfinitioD. — Le produit de m facteurs égaux à une même expression algébrique s'appelle la puissance m^ de eette expression.

La formation de la puissance m^ d'une expression algébrique est soumise à des règles qui dépendent de la forme que eette expression affecte.

S'il s'agit d'un polynôme, nous nous bornerons à dire ici qu'on l'élève successivement au carré, au cube, etc., en appliquant la règle de la multiplication des polynômes : les règles générales qui permettent d'écrire immédiatement l'expression d'une puissance quelconque d'un polynôme sortent du cadre de notre travail.

S'il s'agit d'un monôme, qui peut se présenter sous la forme entière ou fractionnaire, on applique les théorèmes suivants, que nous avons déjà rencontrés en Arithmétique.

43. Théorèmes. — I. Pour élever une puissance d'une exprès- %\on algébrique à une puissance quelconque^ on élève cette expression à une puissance ayant pour exposant le produit des deux exposants :

Remarque. — De ce théorème on tire que (a**)*" = (a"')", ce qui signifie que lorsqu'on veut élever une expression algébrique à une certaine puissance, puis le résultat à une autre puissance, on peut indifféremment commencer par Tune ou l'autre de ces puissances.

II. Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconquCy on élève chaque facteur à cette puissance :

III. Pour élever un quotient à une puissance quelconque^ on » ève le dividende et le diviseur à cette puissance :

§ VI. — Racines.

44. Déllniaon. — On appelle racine m* d'une expression algébrique toute autre expression algébrique dont la puissance m^ reproduit la première expression.

Il peut y avoir, pour une même expression algébrique, plusieurs racines m".

Soit, en effet, l'expression "Ifâ qui représente la racine m* de a. Si a est positif, suivant que m sera pair ou impair, l'expression "Ifâ aura deux valeurs égales en valeur absolue et de signes contraires, ou une seule valeur positive. Si a est négatif, suivant que m sera impair ou pair, Texpression V« aura une valeur négative ou n'en aura aucune.

On donne le nom de valeur arithmétique d'un radical à la valeur positive de l'expression 7*^ lorsque a est lui-même un nombre positif.

Le calcul des racines des expressions algébriques est soumis, comme celui des puissances, h des règles qui dépendent de la forme de ces expressions.

S'il s'agit d'un polynôme, la règle que fournit l'Algèbre sort des limites de cet ouvrage.

Mais s'il s'agit d'jm monôme, on applique les théorèmes qui suivent, déjà vus en Arithmétique.

45. Théorèmes. — I, La racine m* d'une puissance d'une expression algébrique dont Vexposant est divisible par m est égale à une autre puissance de cette expression^ ayant pour exposant le quotient du premier exposant par m :

mn

II. La racine m* d'un produit de facteurs positifs est égale au produit des racines m" de ses facteurs :

T^ = 7ax^/by<l/l.

De l'ensemble de ces deux théorèmes, on déduit les moyens : i** de faire sortir d'un radical du m'' degré un facteur