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exprimé par une puissance d'un nombre dont l'exposant est divisible par m ; 2*» inversement, de faire passer un facteur quelconque sous xiû radical de degré quelconque.

III. La racine m* d'un quotient dont les deux termes sont positifs est égale au quotient de la racine m^ du dividende par la racine m* du diviseur.

§ VII. — Calcul des radicaux.

46. La question du calc^ul des radicaux a été examinée en Arithmétique (148) d'une manière générale, comme nous aurions pu le faire ici. Nous y renvoyons donc le lecteur.

Toutefois, nous la compléterons par la théorie des exposants fractionoaires, ce que nous ne pouvions faire plus tôt.

47. Exposants fractionnaires. — Nous avons vu, dans le précédent paragraphe, que pour extraire la racine m^ d'une puissance d'une expression algébrique, lorsque l'exposant de cette puissance est divisible par m, il suffit d'effectuer cette division ; en d'autres termes, cette racine m^ est représentée par une puissance de la même expression algébrique, dont l'exposant est le quotient par m de l'exposant de la puissance considérée.

Mais lorsque ce dernier exposant n'est pas divisible par m, la règle n'est plus applicable : c'est ce qui a lieu d'ordinaire. Pour généraliser cette règle, on convient de représenter, dans

tous les cas, la valeur du radical 'Va'' par l'expression a " , et lorsque m n'est pas divisible par w, le nombre fractionnaire

— est dit l'exposant fractionnaire de a.

L'introduction des exposants fractionnaires en Algèbre présente le très sérieux avantage de remplacer les indications d extraction de racines par des indications de puissances et de ramener ainsi les calculs à effectuer sur des radicaux à des Cilculs sur des puissances.

On conçoit, toutefois, que cet avantage ne peut exister

qu'autant que les règles relatives au calcul des exposants entiers sont applicables aux exposants fractionnaires. Après avoir établi que si les deux nombres fractionnaires

— et — r sont équivalents, on a aussi n n'

on prouve que les théorèmes relatifs au produit ou au quotient de deux puissances d'un même nombre et à l'élévation d'une puissance à une puissance, démontrés pour des exposants entiers, sont encore vrais pour des exposants fractionnaires.

48. Exposants négatifs. — On prouve, en outre^ que ces théorèmes conviennent au cas où les exposants, entiers ou fractionnaires, sont négatifs.

De sorte que Ton a, dans tous les cas, que m et n soient entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs :

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Il est à remarquer que parmi les opérations dont il vient d'être question, nous avons omis l'extraction des racines ; c'est à dessein, pour la raison qu'une racine, d'après les précédentes conventions, n'est qu'une puissance à exposant fractionnaire, et que l'opération passée sous silence se ramène à l'élévation d'une puissance à une puissance.

49. Remarque. — De l'ensemble des conventions adoptées pour introduire les exposants fractionnaires et négatifs dans le calcul algébrique, il résulte qu'un monôme quelconque, entier ou fractionnaire, rationnel ou irrationnel, peut toujours s'écrire sous la forme entière et rationnelle^ c'est-à-dire sans dénominateur et sans radicaux.