CHAPITRE III

§ I. — Délinitions.

50. Égalité, identité, éqaation. — Nous avons vu en Arithmétique ce qu'on entend par égalité de deux quantités numériques, et comment s'écrit une égalité.

Lorsque deux expressions algébriques sont égales, on indique le fait de la même manière et la relation que Ton obtient est aussi une égalité.

Mais en Algèbre, les égalités sont de deux sortes.

Si les quantités égales sont numériques, c'est-à-dire d'une égalité évidente, ou si elles sont deux expressions algébriques équivalentes, l'égalité s'appelle identité.

Si les quantités que Ton considère comme devant être égales ne peuvent l'être que pour des valeurs particulières attribuées à quelques-unes des lettres qu'elles contiennent, l'égalité porte le nom adéquation ; ce qui veut dire qu'une équation est une égalité qui se transforme en identité par la substitution exclusive de certaines valeurs à une ou plusieurs lettres de cette égalité. Aussi a-t-on défini quelquefois l'équation une égaHié conditionnelle.

Les lettres, ordinairement x^y^z^ . . ., qui doivent recevoir ''es valeurs particulières pour que l'équation se transforme en

lentité, sont dites les inconnues de l'équation ; ces valeurs

articulières sont les racines de l'équation, et l'on dit, pour

xprimer cette transformation de l'équation en identité, que

'63 valeurs satisfont à l'équation ou la vérifient.

Une équation est dite entière ou fractionnaire, rationnelle ou irrationnelle, suivant que ses deux membres sont entiers ou fractionnaires, rationnels ou irrationnels par rapport aux inconnues.

SI. Inégalité, inidentlté. Inéquation. — L'Arithmétique nous a apjpris, d'autre part, à distinguer deux quantités numériques qui ne sont pas égales et à exprimer cette inégalité.

En Algèbre, on dit qu'un nombre a est plus grand ou plus petit qu'un nombre b — ces deux nombres étant quelconques, positifs ou négatifs — suivant que a est égal à b augmenté ou diminué d'un nombre positif^ en d'autres termes, suivant que la différence a — b est positive ou négative.

Cette définition donne lieu î^ux conséquences suivantes :

1"^ Zéro est supérieur à tout nombre négatif ;

2" Tout nombre positif étant plus grand que zéro est supérieur à tout nombre négatif ;

3^ Le plus grand de deux nombres négatifs est celui qui a la plus petite valeur absolue.

Il suit de là que tous les nombres, positifs et négatifs, forment, en les écrivant les uns à la suite des autres, de manière qu'ils aillent en croissant de lun à l'autre, dans le même sens, une série illimitée de part et d'autre du nombre zéro. Les conséquences précédentes permettent d'exprimer qu'un nombre est positif ou négatif suivant qu'il est plus grand ou plus petit que zéro.

On indique comme en Arithmétique que deux quantités algébriques sont inégales, et la relation que Ton. obtient est aussi une inégalité.

Mais, comme pour les égalités, les inégalités sont ici de deux sortes.

Si les quantités inégales sont numériques^ c'est-à-dire d'une inégalité évidente, ou si elles sont deux expressions algébriques non équivalentes, l'inégalité s'appelle inideiitilé.

Si les quantités que l'on considère comme devant être inégales ne peuvent l'être que pour des valeurs particulières attribuées à quelques-unes des lettres qu'elles contiennent,

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GË:NËRALITËS sur les équations et I»ÉQtJAT10Nt

riaégalité porte le nom d'inéquation. Ce qui veut dire iDéquattoQ est une iaégalité qui se trjLnsforme en intdeni la substitution exclusive de certaines valeurs à. u plusieurs lettres de cette inégalité. C'est pour cela q quelquefois défini l'inéquatioa une inégalité condilionnpl lettres qui doivent recevoir des valeurs particulières po l'inéquation se transforme en inidentité sont dites les inc de l'iaéqaation ; ces valeurs particulières sont les so/uli l'inéquation, et l'on dit, pour exprimer cette transformai l'ihéqaation en inidentité, que ces valeurs satisfont à l'ii lion ou la vérifiiint.

Une inéquation est entièi-e ou fractionnaire, ratiomu irralionnellu, suivant que ses deux membres sont enti fractionnaires, rationnels ou irrationnels par rappoi inconnues.

^ n. — Identité! st Inldentltés.