Propriétés principales des identités. — I. On peui
troubler une identité :
i° ajouter ou retrancher une même quantité algébrxqu< deux membres :
2* multiplie^' ou divisir ses deux membres par une quantité atgébriqur qui n'est ni nulle ni susceptible de 0 nulle ou infinie :
î° élever ses deux membres à une même puissance.
Ce théorème est évident et permet :
1° de faire passer un terme d'un membre dans un au eo cbangeant le signe ;
î" de changer les signes de tous les termes d'une ide
3* d'isoler un terme dans un membre en faisant passe les antres tenues dans l'autre membre ;
4' de chasser les dénominateurs des termes fraction ei multipliant tous les termes par le produit de tous les m Dateurs ;
1° d'isoler dans un membre un facteur quelconque te me en isolant d'abord ce terme et en divisant les
membres de Tidentité résultante par le produit des autres facteurs du terme envisagé ;
6^ de -dégager d'un radical un nombre ou une expressioa algébrique en isolant le radical et en élevant les deux membres de ridentité résultante à une puissance marquée par Tindice du radical.
II. Etant données plusieurs identités^ en les combinant membrfi à membre par voie d'addition^ de soustraction^ de multiplication ou de division, on obtient de nouvelles identités.
Ce théorème est aussi évident.
53. Propriétés principales des Inldentltés.— I. On peut, sans
troubler une inidentité :
1° ajouter ou retrancher une même quantité algébrique à ses deux membres ;
2® multiplier ou diviser ses deux membres par une même quantité algébrique positive ;
3® multiplier ou diviser ses deux membres par une même quantité algébrique négative, pourvu qu'on change le sens de l'inidentité.
Ce théorème permet :
1° de faire passer un terme d'un membre dans un autre en en changeant le signe ;
2<) de changer les signes de tous les termes d'une inidentilé, pourvu qu'on change le sens de l'inégalité ;
3^ d'isoler un terme dans un membre en faisant passer tous les autres termes dans l'autre membre ;
4° de chasser les dénominateurs des termes fractionnaires en multipliant tous les termes par le produit de tous les dénominateurs, pourvu qu'on change le sens de l'inégalité si ce produit est négatif ;
5** d'isoler dans un membre un . facteur quelconque d*un terme en isolant d'abord ce terme et en divisant les deux membres de l'inidentité résultante par le produit des autres facteurs' du terme envisagé, pourvu qu'on change le sens de l'inégalité si ce produit est négatif.
II, En élevant les deux membres d'une inidentité à une méni'' puissance, on peut avoir comm^ résultat : une inidentité de mêmi'
sens ou utie inidenlité de sens conlraire^ ou une identité. Si l'exposant de la puissance est impair , on a toujours une inidentité de même sens que la première.
L'application de ce théorème demande une attention toute spéciale.
Il permet de dégager d'un radical un nombre ou une expression algébrique, en isolant le radical el en élevant les deux membres de l'inidentité résultante à une puissance marquée par l'indice du radical. Mais il faut avoir grand soin d'examiner si l'inidentité finale est de môme signe que la proposée ou de signe contraire, ou bien encore si l'inidentité ne s'est pas transformée en une identité.
III. Etant données plusieurs inidentités de même sens^ en les additionnant membre à membre on obtient une inidentité de même sent que les proposées.
La soustraction membre à membre de deux inidentités de même sens n'entraîne pas la connaissance a priori de la manière d'être, l'un par rapport à l'autre, des deux résultats. Il en est de même pour la multiplication et la division.
>i m. — Équations et Inéquations.
54. Équations. — La recherche des racines des équations est la plus importante des questions dont s'occupe l'Algèbre. Effectuer cette recherche pour une équation, c'est résoudre cette équation.
La résolution des équations dépend essentiellement de leur forme. On les classe d'après leur degré et le nombre de leurs inconnues.
On appelle degré d'une équation^ dont les deux membres sont rationnels et entiers par rapport à chacune des inconnues, le nr-nbre qui exprime la plus grande somme des exposants des in onnues considérées dans un même terme.
'eia dit, on peut classer les équations de la manière suivante :
l^ Equations du i" degréy à une inconnue, à deux inconnues, a m nombre quelconque d'inconnues ;
DAUUT. — MéTHODOL. 25
386 ALGÈBRE THÉOHIQUE
2^ Equations du 2* degrés à une ou à plusieurs incoimues;
3*^ Equations d'un degré quelconque^ à une ou k plusieurs inconnues.
Nous n aurons à nous occuper que des deux premières classes, dont les méthodes de résolution — si Ton met à part les équations du deuxième degré à plusieurs inconnues — sont relativement simples et partant très différentes de celles que Ton emploie pour résoudre les autres catégories d'équations.
Quand on a une ou plusieurs équations à résoudre, on leur fait généralement subir des transformations pour les remplacer par d'autres équivalentes^ c'est-à-dire qui admettent les mêmes racines, et dont la résolution est plus facile. L^équivalence de deux équations s'établit en montrant que les racines de Tuae sont les racines de l'autre, et réciproquement.
55. Principes généraux relatifs à la transformation des équations. — A quelque classe qu'appartienne une équation et quel que soit le nombre de ses inconnues, les trois théorèmes suivants donnent les moyens de la transformer en une autre équivalente.
I. En ajoutant ou en retranchant une même quantité finie aux deux membres d'une équation^ on obtient une nouvelle équation équivalente à la première.
De ce premier théorème on tire la règle à suivre pour faire passer un terme d'un membre dans un autre : supprimer ce terme dans le membre qui le contient et l'écrire dans l'autre avec un signe contraire.
On en déduit aussi qu'on peut changer les signes de tous les termes de l'équation.
II. En multij)liant ou en divisant 1rs deux membres d'une équation par une même quantité qui ne contient pas les inconnues et qui est finie et différente de zéro, on obtient une nouvelle équation équivalente à la première.
Ce deuxième théorème permet, si Téquation a des termes fractionnaires et que les dénominateurs soient numériques, de chasser ces dénominateurs en multipliant les deux membres
de réquation par le produit, ou mieux par le plus petit commun multiple de ces dénominateurs.
Mais si les dénominateurs contiennent les inconnues^ l'expression algébrique par laquelle il faut multiplier les deux membres de Téqualion pour chasser ces dénominateurs, peut devenir nulle ou infinie pour certaines valeurs des inconnues ; alors, le théorème précédent n'est pas applicable, et Ton ne peut, sans examen de chaque cas particulier, affirmer que l'on a dans Téquation résultante une équation équivalente à la proposée. Toutefois on peut dire :
i*" si les deux membres de Téquation proposée ainsi que le multiplicateur, que nous représenterons respectivement par A, B et M, sont entiers par rapport aux inconnues, que l'équation résultante AxM = BxM, ou mieux M( A — B)=0, est plus générale que la proposée A — B =0, qu'elle contient des racines étrangères introduites par la multiplication, et que ces racines sont celles de Téquation M = 0, obtenue en égalant à zéro le multiplicateur ;
2^ si le multiplicateur seul est entier par rapport aux inconnues, que réquation résultante M(A — B) = 0 admet toutes les racines de l'équation proposée A — B == 0, parce qu'aucune de ces racines ne peut rendre M infini, mais on ne peut plus affirmer qu'elle admet en outre toutes les racines de l'équation M = 0, car il peut arriver que certaines de ces racines rendent infinie l'expression A — B, et alors le produit M(A — B), qui peut être nul, peut aussi être différent de zéro.
III. En élevant les deux membres d'une équation à une même . "puissance, on obtient une nouvelle équation qui admet toutes les racines de la première^ mais qui peut aussi admettre des racines étrangères.
Ce troisième théorème permet souvent de faire disparaître d'une équation les radicaux qui peuvent s'y trouver.
56. Inéquations. — Chercher les solutions d'une inéquation, c'est la résoudre.
388 ALGÉDHE THÉORIQUE
Cette opération dépend, comme pour les équations, du degré et du nombre d'inconnues des inéquations.
Le degré d'une inéquation, dont les deux membres ^ont rationnels et entiers par rapport à chacune des inconnues, est aussi exprimé par le nombre qui représente la plus grande somme des exposants des inconnues considérées dans un même terme .
On peut classer les inéquations de la même manière que les équations. Mais nous n'aurons à nous occuper que des inéquations du premier degré à une et à plusieurs inconnues et do deuxième depré à une inconnue.
Lorsqu'on a une inéquation à résoudre, on lui fait généralement subir des transformations pour la remplacer par une autre équiralmle, c*est-à-dire qui admet les mêmes solutions, et dont la résolution est plus facile.
57. Principes généraax relatifs à la transformation des Inéquations. — A quelque classe qu'appartienne une inéquation et quel que soit le nombre de ses inconnues, les théorèmes qui suivent donnent les moyens de la transformer en une inéquatiou équivalente.
I. En ajoutant ou en retranchant une même quantité finie aux deux membres d'une inéquation, on obtient une nouvelle inéquation équivalente à la première.
II résulte de ce premier théorème :
1<* qu*on peut faire passer un terme d'une inéquation d'un membre dans un autre en supprimant ce terme dans le membre qui le contient et en l'écrivant dans l'autre avec un signe contraire ;
2" qu'on peut changer les signes de tous les termes d'une inéquation pourvu qu'on change aussi le sens de l'inéquation.
II. En multipliant ou en divisant les deux membres d^une inéquation par une même quantité qui ne contient pas les inconnues et qui est finie, différente de zéro et positive, on obtient une nouvelle inéquation équivalente à la première.
III. En multipliant ou en divisant les deux membres d'une inéquation par une même quantité qui ne contient pas les inconnues
et qui est finicy différente de zéro et négative^ on obtient une noutelle inéquation équivalente à la première pouHu qu'on change le sens de cette inéquation.
Le premier de ces théorèmes permet de chasser les dénominateurs des termes fractionnaires d'une inéquation, si ces dénominateurs sont numériques et entiers, en multipliant les deu\ membres de Tinéquation par le produit, ou mieux, par le pins petit commun multiple de ces dénominateurs. Si l'un ou plusieurs des dénominateurs sont négatifs, on les rend positifs ea changeant le signe des numérateurs correspondants et Ton applique ensuite la règle précédente.
Mais si les dénominateurs contiennent les inconnues, Texpres* don algébrique par laquelle il faut multiplier les deux membres de rinéquation pour chasser ces dénominateurs peut être, pour certaines valeurs des inconnues, positive, négative, nulle ou infinie ; alors les théorèmes précédents ne sont pas applicables; l'on peut même dire que Tinéquation qui résulte de cette multiplication n'est généralement pas équivalente à la proposée. Chaque cas demande un examen particulier.
Si rinéquation est de la forme
(1) AXB>0, dans laquelle* A et B représentent des polynômes entiers en x [x étant rinconnue), toute solution de cette inéquation rendra A et B à la fois positifs ou négatifs, puisque leur produit doit élre positif, et sera, par conséquent, une solution commune à A>0 et à B>0 ou à A<0 et à B<0. 11 s'ensuit que toutes les solutions de rinéquation (i) seront celles de l'un ai Tautre des deux systèmes d'inéquations
(2) A>0, B>0, et A<0, B<0;
ti par solutions d'un système il faut entendre celles qui sont communes aux inéquations qui le composent. Il est facile de voir que la réciproque est vraie. On en conclut que l'ensemble des .deux systèmes (2) est équivalent à l'inéquation (1), Si l'inéquation est de la forme
dans laquelle A et B représentent des polynômes entiers en xr, toute solution de cette inéquation qui ne sera pas racine de l'équation B = 0, rendra  et B à la fois positifs ou négatifs puisque leur quotient doit être, positif : il s'ensuit que toutes les solutions de l'inéquation (3) qui ne seront pas racines de B = 0, seront les solutions de Tun et Tautre des deux systèmes d'inéquations
(i) A>0, B>0, et A<0, B<0;
il est facile de prouver que la réciproque est vraie. On peut donc dire que l'ensemble des deux systèmes (4) est équivalent à l'inéquation (3), sous la réserve des racines de B = 0 qui peuvent être en outre des solutions de cette inéquation.
58. Équations et iDéqoatlons combinées. — Il arrive parfois qu'une relation entre deux expressions algébriques contenant des inconnues se présente sous la double forme, A > B, de l'équation et de l'inéquation.
On donne le nom de solutions d'une telle relation à l'ensemble des racines de l'équation et des solutions de l'inéquation.
Pour résoudre des relations de ce genre, on leur fait généralement subir, comme aux équations et aux inéquations, des transformations en vue de les remplacer par d'autres équivalentes, c'est-à-dire qui admettent les mcmes solutions, et dont la résolution soit plus facile.
Les principes généraux qui président à la transformation de ces relations sont les mêmes que ceux que nous avons donnés pour les inéquations ; les conséquences qu'on en déduit seront aussi celles qui se rapportent aux inéquations.
On peut démontrer comme précédemment, si A et B sont des polynômes entiers en x :
1° que toute relation de la forme
AxB>0
est équivalente à l'ensemble des systèmes
A > 0, B > 0, et A < 0, B < 0 ;
2*^ qne toute relation de la forme
si ron met à part les solutions qui peuvent être en même temps racines de l'équation B = 0, équivaut à l'ensemble des deux systèmes
A>0, B>0, et A<0, B <C
