Les interrogations sont le complément indispensable

des leçons. Elles ont pour but immédiat de s'assurer que

es élèves ont compris et retenu, qu'il ne s'est glissé aucune

;rreur dans leur esprit, et que les développements entrepris

peuvent être continués. Elles sont aussi le meilleur exercice

pour apprendre à réfléchir et 2t penser, à raisonner et à parler,

parce que le professeur doit s'y montrer très exigeant pour la justesse des expressions, la bonne disposition des calculs, la netteté des figures, l'exactitude des comparaisons, la rigueur des démonstrations, la précision et la solidité des conclusions.

Si l'on a dit avec raison que « savoir interroger, c'est savoir enseigner », n'est-ce pas affirmer en même temps que l'exercice est difficile à diriger, qu'il demande une préparation spéciale et des soins tout particuliers ? II faut, en effet, que le professeuf connaisse d'avance pour chaque interrogation la suite des points à élucider, l'ordre dans lequel on doit les examiner, ainsi que les objections qu'ils peuvent provoquer.

Toute question posée doit l'être en termes nets et clairs ; après, il est nécessaire que Télève interrogé ait quelques courts instants pour se bien pénétrer de ce qu'on lui demande et entrevoir la marche à suivre dans ses raisonnements, ses constructions ou ses calculs ; il faut ensuite que le maître sache le conduire^ sans se substituer à lui, à travers les difficultés à résoudre ; qu'il l'empêche de s'écarter de la question jusqu'à ce qu'elle soit élucidée d'une manière satisfaisante ; enfin, qu'il veille à ce que l'interrogation ne tourne pas au colloque à deux, que toute la classe s'y intéresse, y prenne part et en tire le profit attendu. Si l'élève se heurte à quelque obstacle, qu'il l'amène à se tirer seul d'embarras et, pour cela, qu'il le remette en présence des données de la question et lui fasse résumer au besoin ses opérations ; qu'il le fixe très exactement sur le chemin parcouru et sur ce qui le sépare encore du but à atteindre ; qu'il le conduise à la recherche des connaissances à utiliser pour continuer son raisonnement» etc. Si l'élève commet une erreur, il la lui fait découvrir, ainsi que les causes qui l'ont produite, pour qu'il la redresse de luimême.

Il va sans dire que le professeur doit veiller à ce que les démonstrations ne soient pas apprises de mémoire, qu'elles appartiennent bien à l'élève. On ne doit faire apprendre par cœur que les énoncés des définitions, des propositions et de certaines règles^ sous la réserve toutefois qu'ils aient été préa-

DB l'ï!KS£IGNEM£NT DES MATHÉMATIQUES 17

lablement commentés de manière qu'ils ne contiennent rien d'obscur on d'incompris. Pour combattre la tendance à retenir de mémoire des phrases de démonstration, nous engageons le professeur. à changer, dans les interrogations^ chaque fois qa'ilen aura la possibilité, la forme, la disposition ou telles antres particularités des figures ; nous lui signalons^ en outre, le procédé qui consiste à faire exposer, sans 4igures, sans calculs, oralement, les grandes lignés, les points priocipaux, les liens essentiels d'une démonstration : l'esprit qui s'habitue ainsi k raisonner d'après des figures ou des signes que l'imaginalion seule lui représente, acquiert une vigueur et une solidité peu communes.

Il y a aussi une très grapde utilité à se servir des interrogations po«r mettre de temps en temps les élèves en présence de '\^^ 'questions inconnues qui ne leur sont pas données d'avance; pour leur apprendre et leur faire appliquer les différentes méthodes de raisonnement ainsi que les procédés divers de calcul ou de construction ; pour les amener à savoir trouver la voie la plus rapide ou la meilleure d'une démonstration de théorème ou d'une solution de problème ; pour les guider ainsi pas à pas vers les découvertes qui contribuent d'une manière autrement puissante que tgus les exposés du professeur à ouvrir leur intelligence, à leur dévoiler le mécanisme des sciences mathématiques, à leur inspirer un amour profond •^•ntisonné des-conntflssances exactes.

Nous recommandons, enfin, de s'en servir pour résumer aussi souvent que possible les difi'érentes parties du cours, et dans ce but nous conseillons de faire énoncer, après les définitions et les axiomes qui peuvent leur servir de base, la série de&proposUioxLS qui le& constituent^ en partant fréquemment de la dernière pour remonter analytiquement de proche en proche jusqu'au point de départ. Il nous semble bon aus^, dans cet ordre d'exercices, de faire des rapprochements entre certaines théories, dé mettre en évidence les rapports, les analogies qu'il peut y avoir entre elles, de montrer, par exemple, que les unes sont constituées par des cas particu-

DAIZAT. — MÉTHODOL. 2

INTROQjrCTlO^

liers d'autres plus générales, que le plus souvent, alors, il faut partir des premières pour établir les secondes, etc.

Ainsi comprises, les interrogations produisent les meilleurs résultats, surtout s'il s'y ajoute beaucoup de bienveillance de la part de celui qui les dirige, et si elles s'adressent successivement k tous les élèves de la classe.

^ III. — Les Devoirs.

24. Les devoirs écrits ont pour double objeLle contrôle et la mise en œuvre du savoir des élèves. Il importe donc qu'ils soient des applications ou des suites de leçons sur lesquelles des interrogations ontétédéjàfaites ; tjueles questions à traiter^ choisies d'avance avec le plus grand soin, présentent une intéressante variété et soient rigoureusement graduées. C'est surtout par le devoir que l'élève est mis aux prises avec les diflicuUés à vaincre, qu'il est particulièrement excité à reffort et qu*il donne la mesure de ses moyens. Les interrogations portent généralement sur des questions connues ou préalablement étudiées, tandis qu'il s'agit ici de déchiffrer, de faire des découvertes. On ne saurait donc trop recommander que chaque leçon soit, autant que possible, suivie d'applications écrites.

Mais pour que cet ordre d'exercices donne tous ses fruits, le professeur doit tenir la main à ce que les élèves en fassent l'objet de tous leurs soins, aussi bien dans la forme quedans le fond. De son côté, après avoir recueilli toutes les copies qui se rapportent à un même devoir, et avant de procéder à -la correction générale des questions proposées, — qui se fait au tableau noir, par les élèves sons sa direction, — il doit examiner attentivement chaque' travail'dans le silence du cabinet, y relever les erreurs commises, en les soulignant d'un trait accompagné d'annotations marginales, y signaler toutes les lacunes qu'il présente, y marquer d'une approbation les meilleurs passages, en apprécier finalement l'ensemble par quelques courtes expressions, que résume plus simplement ensuite une note chifh^ée prise dans une échelle d'évaluation conve-

DE l'enseignement DES MATHÉMATIQUES 19

nne. Etquelque médiocre que soit la valeur d'une copie, qu'il ait grand soin d'éviter l'emploi de mots durs ou ironiques pour en faire la critique ; une juste sévérité ne doit point exclure les encouragements.

Il faut que le professeur s'acquitte de cette partie de sa tâche avec conscience et régularité ; il n'y a peut-être pas de moyen d'action plus puissant sur les élèves que celui qui résulte d'un très minutieux contrôle de leurs travaux; non seulement ils sont ainsi exhortés à bien faire, mais ils voient

dans ces annotations laborieuses du maître une marque tangible d^un réel et constant intérêt qui les touche et les convie à mieux faire encore.

t; IV. — Gonsidérations générales.

25. 11 nous serait difficile, pour ne pas dire impossible, d'entrer ici dans tous les détails que peut comporter un enseignenient bien conçu des mathématiques, d'en relever tous les points délicats dans cette introduction. Néanmoins, nous insisterons tout particulièrement sur les soins à donner aux premières leçons, celles qui ont pour but d'asseoir dans les esprits les principes fondamentaux de la science ; sur l'intérêt qu'il y a de réduire au strict nécessaire le nombre des axiomes, c'est-à-dire de ne donner comme tels que les vérités qui n'ont pas à être démontrées ou commentées, parce que l'évidence en est saisissante ; sur la nécessité de prouver, dans l'extension des définitions, que les règles de calcul établies pour les premières choses définies sont applicables à celles en faveur desquelles se fait l'extension ; sur Tutilité de démontrer que les relations entre les grandeurs mathématiques, ou les nombres qui les mesurent, sont indépendantes du choix des unités; î r celle de bien faire ressortir toute l'importance qui s'atta- I e, dans la démonstration de deux propositions réciproques ] ne de l'autre, à cette condition de réciprocité, qui n'est i tre qu'une condition nécessaire et suffisante de l'hypothèse I Tune pour que la conclusion correspondante s'ensuive, etc.

Dans les établissements où l'enseignement des mathématiques doit contribuer d'une manière toute spéciale â l'éducation de l'esprit, surtout dans ceux où il s'adresse à de futurs litres, comme les écoles normales, et où il doit viser à la i à l'instruction individuelle et à l'éducation professionle, quelques aperçus historiques sur les méthodes et les icédés généraux du calcul, sur certaines théories, nous 'aissent avoir une place tout indiquée. Celui qui aspire au )fessorat ne peut pas ignorer les principales phases de la ence qu'il se propose d'enseigner; il ne la connattraitque n imparfaitement. Empressons-nous d'ajouter, toutefois, e ces notions doivent ôtre données avec sohriété ; ce qui porte, dans les écoles normales en particulier, ce n'est pas nseigner beaucoup, mais de bien enseigner, de savoir irter les choses trop savantes, d'éliminer les propositions r trop spéculatives, qui ne sont pas indispensables & la rté ainsi qu'à l'enchaînement rigoureux des théories.

De toutes les branches des Mathématiques, la plus importante est, sans contredit, TArithmétique, qui sert de base à tontes les autres, et qui est indispensable à tous par le grand nombre de ses applications usuelles. La simplicité de ses moyens, la rigueur de ses démonstrations, Tenchalnement inflexible de ses propositions la rendent, en outre, éminemment propre à l'exercice du raisonnement et en font un excellent instrument de discipline intellectuelle. Gauss l'appelait la reine des Mathématiques.

Elle a pour objet Tétude des règles du calcul et des propriétés des nombres.

Ces règles, obtenues pour la plupart à Taide d'exemples numériques^ n'en sont pas moins générales, parce que les raisonnements qui permettent de les établir sont indépendants des valeurs particulières des nombres choisis.