NOTIONS ET VÉRITÉS PREMIÈRES DE L'ARITHMÉTIQUE

27. Les notions premières d'une science sont les idées fon* damentales qui lui servent de base. Elles entrent dans la coniposition des véritt^s premières qui sont des propositions ou des principes. •

De la notion du nombre dérive immédiatement, par la considération d*un seul objet de la pluralité, celle de Vunité que Ton dégage de toute désignation d'objet pour avoir Vunilé abstraite ; cette notion conduit à son tour à Tidée qu'un nombre est une coliectioti d*vnités abstraites : c'est ce qui explique le qnâNfîcatif A'abstrait que Ton donne aux nombres ainsi compris.

£n considérant une de ces collections, et en supposant qu'elle perde successivement toutes ses unités, on est ainené il ridée du nombre zéro.

Un nombre qui représente une collection d'objets est dit un nombre concret.

On peut tirriver à l'idée du nombre, — et à une idée plus étendue que celle qui résulte de la vue de plusieurs objets^ — par la mesure des grandeurs mathématiques, c'est-à-dire des longueurs, des surfaces, des volumes, des poids, des forces, des vitesses» etc. ; mais cette question ne sera utilement, et avec quelque raison d'être, examinée que plus loin (94).

La comparaison de deux nombres qui contiennent ou ne contiennent pas autant d'unités l'un que Vautre conduit aux notions de nombres égaux et de nombres inégaux^ et, par suite, à celles de nombre plus grand et de nombre plus petit qu'un autre.

Enfin, la réunion des unités de deux ou de plus de deux nombres fait naître dans l'esprit la notion de somme^ qui entraîne avec elle celle de parties si Ton considère les nombres qui composent la somme, et celle d'addition. si Ton a en vue l'opération par laquelle on forme cette somme.

28. De ces notions^ on arrive sans efforts aux propositions suivantes, que Ton peut regarder comme des vérités premières :

1** En ajoutant à l'unité une autre unités puis une autre ^ et ainsi de suite^ on peut former tous les nombres» m ^

Cet ensemble de nombres ainsi formés constitue la suite naturelle des nombres. Si Ton veut y introduire le nombre zéro, on le place le premier, avant Tunité.

2^ La suite naturelle des nombres est illimitée .

Tout nombre, en effet, quelque grand qu'il soit, est suivi d'un autre. On traduit encore cette vérité en disant que les nombres s'étendent jusqu'à Vin fini,

3° La somme de plusieurs nombres est indépendante de l'ordre dans lequel on les additionne.

A° Deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux.

5® Deux nombres égaux augmentés l'un et Vautre (Pun même nombre quelconque restent égaux.

29. Il est d'autres notions ou données premières dans le domaine de l'Arithmétique ; nous les ferons intervenir au fur et à mesure que île besoin s'en fera sentir. Celles auxqueMss nous nous bornons ici suffisent pour établir toute la théorie des nombres, de ceux que nous appellerons plus loin des nombres entiers pour les distinguer d'autres expressions auxquelles nous devrons donner aussi, par extension, le nom de nombres.