ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE

premier membre tous les termes en x, dans le second tous les termes connus, et de réduire à un seul les termes de chaque membre.

61. DlBcussion de la formule générale. — l. Si a n'est pas nul ^ on peut diviser les deux membres de Téqualion (i) par a et obtenir l'équation équivalente

qui n'a qu'une racine, laquelle est aussi, par conséquent, racine unique de Téquation (i).

II. Si a est nul, la division par a des deux membres de l'équation (1) n'est plus permise ; il faut alors recourir à l'examen direct de cette équation pour en découvrir, s'il y a lien, les racines. Deux cas sont à distinguer : ou b est différent de zéro, ou b est égal à zéro.

1* b est différent de zéro. L'équation (1) prend la forme

Oxx = b

et moQtre qu'il n'y a pas de nombre qui mis à la place de x puisse la vérifier, car quelle que soit la valeur attribuée à or, le premier membre de l'équation est toujours nul et par conséquent différent du second qui est égal à b. Dans ce cas, on dit que réquation est impossible.

Mais si Ton admet pour un instant que a, au lieu d'être nul, est très petit en valeur absolue^ Téquation (2) est équivalente à l'équation (i) et donne pour x, si b reste fixe, une racine unique, très grande en valeur absolue, qui va en augmentant et croit au delà de toute limite au fur et à mesure que a diminue en valeur absolue et tend vers zéro. Ainsi envisagée on dit que Féquation a une racine infinie.

En appliquant la formule (2) au cas où a est nul et h

différent de zéro, on aurait pour représenter x l'expression —

qui n'a aucun sens par elle-même. Cependant, comme cette expression se présente dans le calcul algébrique pour le cas où l'équation (1) est impossible, on la regarde comme un nouveau symbole, celui de Vimpossibilité et aussi celui de Vin fini.

394 ALGÈBRE THÉOBIQUE

L'impossibilité d'une équation du premier degré à une inconnue se constate parfois dans la forme que revêt cette équation. Considérons, en effet, Téquation

par -H ç r= pa?

dans laquelle on a q:^ q'.

Après la transposition et la réduction des termes semblables, cette équation prend la forme de l'impossibilité

Ox^ = h.

Il est évident, en effet, qu'elle ne peut être vérifiée par aucune valeur attribuée à x, car, quelle que soit cette valeur, le produit px augmenté de q ne peut pas être égal à ce môme produit augmenté de q',

2"* b est égal à zéro. L'équation (1) prend la forme

Oxx = 0,

et montre que tout nombre mis à la place de x peut la vérifier, car quelle que soit la valeur attribuée k x le premier membre de l'équation est toujours nul comme le second. Dans ce cas, on dit que Téquation et sa racine sont indéterminées j en d'autres termes que Téquation admet une infinité de racines. En appliquant la formule (2) au cas où a et 6 sont nuls en

môme temps, on aurait pour représenter X l'expression -—> qui

n'a aucun sens par elle-même. Mais comme cette expression se présente dans le calcul algébrique pour le cas où l'équation (1) est indéterminée, on la regarde comme un nouveau symbole, celui de V indétermination.

L'indétermination d'une équation du premier degré à une inconnue se constate aussi parfois dans la forme que revêt cette équation. Considérons, en effet, l'équation

px-\-q =i px -{-q^

qui prend, après la transposition et la réduction des termes semblables, la forme de l'indétermination

Oxa: = 0.

Il est évident que toute valeur attribuée à x vérifie cette

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE 39o

équation, puisque les deux membres sont identiques dans leur composition.

62. Rbmarque. — Il arrive parfois que le symbole —- n'indique

qu'une indétermination apparente ; c'est lorsque les deux termes

de Texpression y ont un facteur commun qui s'annule pour

certaines valeurs attribuées aux lettres dont se compose ce facteur. Aussi, pour avoir la vraie valeur de toute expression fractionnaire, faut-il, avant d'attribuer aux lettres leurs valeurs numériques, supprimer tout d'abord, s'il en existe, les facteurs communs à ses deux termes.

63. Éqaations de la forme A. X B = 0. — Toute équation de la forme

(1) AxB = 0,

dans laquelle A et B sont des polynômes entiers par rapport à X, est équivalenta au système de deux équations à une inconnue

(2) A = 0 et B = 0,

car toute valeur attribuée à x qui vérifie l'équation (1) annule Vxm ou l'autre au moins des deux facteurs A et B et vérifie l'une au moins des deux équations du système (2), et, réciproquement, toute valeur de x qui vérifie Tune des deux équations du système (â) annulant ainsi l'un des facteurs de réquation(l), vérifie aussi cette équation.

11 en résulte que pour résoudre l'équation (I) lorsque A et B sont des polynômes entiers et du premier degré par rapport à 2, il suffît de résoudre le système (2) formé de deux équations du premier degré à une inconnue.

64. Vérlflcallon des racines. — Lorsqu'on a résolu des équations, il est utile d'en vérifier les racines. Pour cela, il suffit de substituer aux inconnues les valeurs trouvées, d'efifectaer les calculs indiqués et d'opérer toutes les simplifications possibles : les deux membres résultants doivent être identiques.

Celte observation, d'ordre général, est applicable à toutes les classes d'équations ; nous ne la reproduirons pas.

§ II. — Résolution de llnéquation du premier degré

à une inconnue.

65. Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on procède comme si Ton avait affaire . à une équation, en s'appuyant sur les principes énoncés dans le § III du chapitre précédent (57), c'est-à-dire qu'on lui fait subir une série de transformations qui la ramènent, par une suite dlnéquations équivalentes, à une dernière inéquation oùlïaconnue soit isolée dans un membre et où il n'y ait dans l'autre membre qu'une quantité connue. Cette quantité est une limite inférieure ou supérieure de Tinconnue suivant que l'inéquation finale est de Tune ou l'autre des deux formes x^m ou x<iin,

La règle est la même que pour la résolution de Téquation du premier degré à une inconnue ; il suffit, en l'appliquant, de tenir compte, pour le sens de chacune des inéquations successives que Ton obtient, des signes des quantités par lesquelles les deux membres de l'inéquation précédente sont multipliés ou divisés.

66. Formule générale. — Toute inéquation du premier degré à une inconnue peut toujours ôtre ramenée, pour les raisons données à propos de Téquation de même ordre, à la forme générale

(1) ax^b,

dans laquelle elle équivaut à la proposée, a et b étant des nombres connus que Ton appelle les coefficients de l'inéquation, et X représentant Tinconnue.

A cet effet, si Tinéquation est de la forme A>B, on fait passer dans le premier membre tous les termes en x, dans le second tous les termes connus, et Ton réduit à un seul les termes de chaque membre. Si Tinéquation est de la forme A < B, par un changement de signe dans chaque terme, on