INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE

la transforme en Tinéquation équivalente A' > B' et Ton opère comme précédemment.

67. Dlscosslon de la formule générnle. ~ I. Si a n'est pas nul, on peut diviser par a les deux membres de Tinéquation (i) et obtenir :

i° si a est positifs l'inéquation équivalente

qui a pour solutions tous les nombres plus grands que — >

lesquels sont aussi les solutions de l'inéquation (1) ; 2* si a est négatif, Tinéqualion équivalente

a qui a pour solutions tous les nombres plus petits que — > lesquels

sont aussi les solutions de Tinéquation (1).

II. Si a est nul, la division par a des deux membres de l'inéquation n*est plus permise; il faut alors recourir à l'examen direct de cette inéquation pour en découvrir, s'il y a lieu, les solutions :

l^^si b est négatif et égal à — b\ l'inéquation (1) prend

la forme

Ox;i:>— 6\

qui montre que cette inéquation est vérifiée pour toute valeur attribuée àTinconnue; 2" si 6 est positif, Tinéquation (1) prend la forme

Oxx>b,

qui montre que cette inéquation n'est vérifiée par aucune valeur attribée à Tinconnue ; 3* si b est égal à zéro, l'inéquation (1) prend la forme

Oxar>0,

qui montre que cette inéquation n'est encore vérifiée par aucune valeur attribuée à Tinconnue.

§ III. — Résolution d*an systôme d'inéquations simnltAXiées du premier degré à une môme inconnue.

68. Plusieurs inéquations peuvent être assujetties à la condition d'être vérifiées par les mêmes valeurs attribuées à leurs inconnues. On dit de l'ensemble de ces inéquations qu'il forme un système d'inéquations simultanées.

Résoudre un tel système, lorsque toutes les inéquations sont du premier degré à une inconnue, c'est trouver toutes les solutions communes à toutes les inéquations.

Pour effectuer cette résolution, on transforme le système en un autre équivalent, c'est-à-dire dont les solutions soient celles du proposé, et qui comprenne le minimum possible d'inéquations, dans chacune desquelles l'inconnue soit isolée dans un des membres.

En résolvant toutes les inéquations par rapport à Tinconnue, il peut se présenter trois cas :

1^ Toutes les inéquations du nouveau système, équivalent au premier, se présentent sous la forme x';;>m. Dans ce cas, la plus grande valeur de m est la limite inférieure des solutions du système. Si m^ est cette valeur, Tinéquation x > mi est équivalente au système envisagé.

S"" Toutes les inéquations du nouveau système se présentent sous la forme a?<n. Dans ce cas, la plus petite .valeur de u est la limite supérieure des solutions du système. Si ni est cette valeur, l'inéquation ar < 7?i est équivalente au système envisagé.

i" Certaines inéquations du nouveau système se présentent sous la forme a?> 7m, et les autres sous la forme a: <n. Dans ce cas, la plus grande valeur de m estla limite inférieure des solutions du système et la plus petite valeur de n en est la limite supérieure. Soient lUi la première et ni la seconde . Le système des deux inéquations ar>>mi et ar<<Wi est équivalent au proposé.

Si l'on a lUi <; ni, tous les nombres compris entre wii et m sont solutions du système initial ; mais si l'on a wi > «i.