A PLUSIEURS INCONNUES

§ I. — Généralités.

71. Équations. — Si Ton considère une équation isolée du premier degré à plusieurs inconnues, il est facile de démontrer qu'elle admet une infinité de solutioyis. En efîet, en donnant à toutes les inconnues moins une des valeurs arbitraires, on obtient une équation du premier degré à une inconnue qui permet, en général, de déterminer cette inconnue ; par conséquent, à chaque système de valeurs arbitraires attribuées à toutes les inconnues moins une correspond généralement une valeur pour cette dernière inconnue.

Mais si Ton se trouve en présence de plusieurs équations assujetties à être vériûées à la fois par les mêmes valeurs des inconnues, les faits ne se présentent plus de la même manière.

On donne le nom de système d'équations simultanées à Tensemble des équations qui doivent être satisfaites en mémo temps par les mêmes racines.

Résoudre un semblable système, c'est en trouver les différentes solutions, et par solution il faut entendre ici ensemble de valeurs qui, attribuées aux inconnues, satisfont aux équations considérées.

Imaginons que Ton ait à résoudre un système d'équations simultanées du premier degré formé d'une équation à une inconnue x, d'une équation à deux inconnues x et y, d'une équation à trois inconnues x, y, s,..., et dune équation an inconnues x, y, s,..., /. Si la première de ces équations que

ÉQUÂTlO^iS DL PREMIER DEGRÉ Â PLUSIEURS INCONNUES 401

Ton sait résoudre admet une racine, celte valeur substituée à rinconnue x dans la deuxième équation la transformera en ane équation à une inconnue y ; si cette deuxième équation ainsi transformée admet aussi une racine, les deux valeurs trouvées, substituées h x eih. y dans la troisième équation, la transformeront à son tour en une équation à une inconnue : ; et si Ton continue ainsi de proche en proche à substituer daDS chaque équation les valeurs précédemment trouvées, en admettant que Ton ne soit arrêté par aucune impossibilité, on arrivera à obtenir un système de valeurs qui constituent la solution unique et déterminée du système d'équations simultanées envisagé. Les équations étant, en effet, toutes supposées du premier degré, chacune d'elles est ramenée, par des substitutions numériques, à la forme de Tëquation à une inconnue et n'admet par conséquent, s'il n'y a ni impossibilité ni indétermination, qu'une seule racine : l'ensemble des valeurs trouvées pour les inconnues constitue donc bien à l'égard du système considéré d'équations simultanées du premier degré une solution uniqae et déterminée.

C'est à un système ainsi constitué qu'on cherche à ramener nn système quelconque d'équations simultanées du premier degré à plusieurs inconnues, en le faisant passer, au moyen d'une série de transformations, par une suite de systèmes qui luisent respectivement équivalents, c'est-à-dire qui en admettent les mêmes solutions. Chaque transformation consiste à remplacer un système de m équations à m inconnues par un système équivalent formé d'une équation à m inconnues et de m — i équations à 771 — 1 inconnues, et lorsqu'on passe du premier système au deuxième, on dit qu'on élimine rinconnue qui cesse de figurer dans les 771 — 1 équations à m — 1 inconnues.

72. Méthodes de résolution. — Il existe plusieurs méthodes pour opérer ces transformations. Celle à laquelle on a le plus souvent recours, parce qu'elle est la plus régulière, est la méthode de substUution. Elle est fondée sur le théorème qui suit :

DADZAT. — VÉTHODOL. 2G

Etant donné un système d'équations simultanées^ si de l'une d** ces équations on tire la valeur d'une des inconnues, de x par exemple^ en considérant Ips autres inconnues comme des quan-tités connues, et si l'on remplace x par cette valeur dans le< autres équations auxquelles on joint ensuite la première^ on obtient un nouveau système équivalent au système proposé.

Appliquons ce théorème au système

ax -h hy ^ cz-h du H- • = A%

a'x H- b'u -h c'z -h d'il H = k',

^ ^ ^ a^v^b'y^c'z-hd'u-^ - = A-",

qui comprend m équations à )i inconnues, et dans chacune desquelles nous supposerons contenues toutes les inconnues. En tirant la valeur de x de la première équation pour la porter dans chacune des autres, on aura l'équivalent du système (i) dans le système (2) :

I ax

by -+- cz

-H riu -h • •■

ou . r —

-hr2-t-

du

H- rf^U H- ■ •

ku

où toutes les équations moins une ne renferment pas a*.

Si de la deuxième équation du système (2) on tire la valeur de y pour la porter dans chacune des suivantes, on aura l'équivalent du système (2) dans le système (3) :

, ax -h bn -+• cz ~h du -h • ■ = /«*,

k — {bi/ -h cz ^ du -\- •• )

ou X = '■ 5

fl

Ci) //,î/-4-c',3-4-^>/H- ■•• = k\,

kl^{c\z-hd[u^-')

ou y = !— r- y

(\z-^a^H'\ = Atj,