ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES

OÙ toutes les équations moins deux ne renferment ni a? ni y.

Ed continuant aiusi, et en admettant que toutes les éliminations successives soient possibles, on arrivera à un dernier système équivalent au proposé^ qui peut se présenter sous trois formes différentes :

1« Si m= n, la dernière équation du dernier système n'aura plus qu'une inconnue. On réalisera ainsi le système d'équations simultanées dont il a été parlé plus haut (71), que Ton sait résoudre et qui admet en général une solution unique et déterminée.

2* Si w > n, Télimination de n — i inconnues donnera un dernier système qui contiendra m — 71 + i équations aune inconnue : comme il n'y a pas de nombres, en général, qui satisfassent à la fois plusieurs équations à une inconnue, le système proposé, dans ce cas, n'a pas de solution.

3" Si m < «, on ne pourra éliminer que m — 4 inconnues^ ce qui donnera un dernier système dans lequel la dernière équation contiendra n — m -h 1 inconnues. En substituant dans toutes les équations du système des valeurs arbitraires à n — m de ces inconnues, on transformera ce système en un autre qui comprendra m équations à m inconnues et au moyen duquel on pourra déterminer ces 7/t inconnues dont les valeurs formeront une solution unique. D'autres valeurs arbitraires donneraient une autre solution ponr le système de m équations à m inconnues. Il s'ensuit que dans ce troisième cas, le système proposé est indéterminé.

Une autre méthode, très souvent employée parce qu'elle simplifie beaucoup dans certains cas l'élimination, est la méthode de réduction on d'addition et de soustraction. Elle repose sur le théorème suivant :

filant donné un systfYme quelconque d'équations simultanées^ si ^on substitue à Vune d'elles celle qu'on forme en ajoutant membre « membre Véquation considérée à une ouplusieurs autres équations ^^ système^ on obtient un nouveau système équivalent au Vroposé.

Quelquefois on se sert d'une méthode dite de comparaison^

404 ALGÈBRE TIIÉORIQDE

par laquelle on forme un système d'équations simultanées équivalent au système proposé, en tirant la valeur d'une même inconnue de chacune des équations de ce système, en égalant la première valeur respectivement à chacune des autres, et en joignant aux équations ainsi formées l'une quelconque du système considéré.

Signalons enfin la méthode des facteurs indéterminés^ qui consiste, étant donné un système de m équations, que nous supposerons à m inconnues, chaque équation contenant, en outre, toutes les inconnues : 1** à multiplier les deux membres de m — 1 d'entre elles par un même facteur littéral, différent pour chaque équation, 2° à additionner membre à membre les m équations du nouveau système et 3** à égaler à zéro les coefficients de wi -— i inconnues de l'équation résultante.

Cette dernière opération donne un système de m — 1 équations à m — 1 nouvelles inconnues. Elle transforme, en outre, Téquation résultante dont il vient d'être question en une équation à une inconnue qui permet généralement de déterminer cette inconnue, qui appartient au premier système, lorsqu'on a résolu le système plus simple que le proposé de m — 1 équations à m — 1 inconnues. Pour calculer les m — 1 autres inconnues du système donné, on suit le môme procédé.

73. Inéquations. — Plusieurs inéquations à plusieurs inconnues, qui doivent être vérifiées à la fois par les mêmes valeurs de ces inconnues, forment un système d'i» équations simultanées.

Résoudre un système de ce genre, c'est trouver les limites des valeurs de chaque inconnue.

Il n'est pas toujours possible d'opérer cette résolution, et les méthodes utilisées pour les systèmes d'équations simultanées ne conviennent pas, si l'on excepte toutefois la méthode de réduction, qui peut être employée surtout quand il s'agit d'inéquations de même sens et que par l'addition on peut éliminer des inconnues.