ÉQUATIONS DD PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES

L'application de cette méthode repose sur ce principe : Etant données deux inéquations de même sens^ on peut les ajouter membre à membre : Vinéquatxon résultante est de même sens que les proposées.

Mais cette inéquation résultante jointe à Vune des proposées ne forme pas un système équivalent à celui que constituent les deux premières inéquations.

§ II. ->- Résolution d'un systôme de deux équations simultanées du premier degré à deux inconnues.

74. Si Tune des équations du système ne contient qu'une inconnue, elle permet généralement de trouver la valeur de cette inconnue ; dès lors, si Ton remplace cette même inconnue, dans la seconde équation, par sa valeur ainsi tirée de la première, on forme une autre équation à une inconnue qui donne la valeur de la seconde inconnue du système prpposé ; et comme les deux équations à une inconnue, ainsi obtenues, forment un système équivalent au proposé (72), la solution de ce système est celle du premier.

Quand on a à résoudre un système de deux équations simultanées du premier degré à deux inconnues, et que les deux équations renferment l'une et l'autre les deux inconnues, on ramène la question à la précédente, c'est-à-dire qu'on élimine une inconnue entre les deux équations, parTune des méthodes précédemment indiquées, et Ton opère ensuite comme il vient d'être dit.

11 en résulte la règle suivante, si Ton emploie la méthode de

substitution :

On tire de Vune des deux équations la valeur de Vune des inconnues^ comme si Vautre était connue; on substitue cette valeur à Vinconnue correspondante dans la seconde équation, et Von obtient ainsi une équation du premier degré à une inconnue, La résolution de cette équation donne la valeur de In seconde inconnue. On substitue cette valeur à Vinconnue correspondante dans C équation précédente^ et Von tire de Véquation résultante ^

qui est à une inconnue, la valeur de la première inconnue du système.

Si Ton a recours à la méthode de réduction^ la règle devient la suivante :

On multiplie les deux membres'de chaque équation par le coefflcient de V inconnue à éliminer ^ pris dans Vautre équation ; on ajoute ou Von retranche membre à membre les deux équations ainsi obtenues, suivant que les termes qui contiennent Vinconnue à éliminer sont de signes contraires ou de même signe. La résolution de Véquation résultante, qui est à une inconnue, donne la valeur de cette inconnue. Pour avoir la valeur de Vautre inconnue, on procède de la même manière.

L'opération peut être simplifiée lorsque les coefficients de l'inconnue à éliminer contiennent des facteurs communs : au lieu d'avoir recours au produit de ces coefficients pour réaliser Télimination, on emploie leur plus petit commun multiple.

Nous passerons sur les deux autres méthodes, dont on ne se sert que très rarement et dans des cas tout particuliers.

75. Formales générales. — Toute équation du premier degré à deux inconnues x et t/ ne peut contenir que trois sortes de termes : des termes en or, des termes en y, et des termes tout connus. Il s'ensuit qu'une équation de cet ordre peut toujours être ramenée, par une transposition de termes et une réduction des termes semblables, à la formule équivalente

ax -i- by = c,

(/, 6 et c étant des nombres connus qui sont les coefficients de Téquation.

D'où il résulte qu'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues peut toujours s'écrire

( ax -h by =z c,

Si l'on suppose que a est différent de zéro, en tirant de la première de ces équations la valeur de x pour la substituer dans la seconde équation, on élimine x — par la méthode de substitution — et l'on remplace, toutes simplifications opé-