Discussion des formules générales. — I. Si ab' — ba

n'est pas nuly la condition est suffisante pour que le système

ÇS) soit équivalent au système (l), car alors a et «' ne peuvent pas être nuls à la fois. Mais s*il arrivait que Ton eût a = 0, on aurait nécessairement a'^éO; dans ce cas, comme on ne pourrait plus partir de l'hypothèse a^O pour établir Téquivalence des deux systèmes (i) et (3), il suffirait de tirer de la seconde équation du système (i) la valeur de x pour la porter dans la première et Ton obtiendrait comnàe équivalent au système proposé le môme système (3) que ci-dessus. Ainsi, lorsque ab' — ba' n'est pas nul, le système de deux équations du premier degré à deux inconnues admet une solution unique donnée par les formules (3).

II. Si ab' — ba! est nul, la division par ab' — ôa' des deux membres de la seconde équation du système (2) n'est plus permise et il en résulte que les formules (3) ne sont plus apphcables. Il faut alors recourir à Texamen direct des équations. Plusieurs cas sont à distinguer :

1° ac' — ca' pst différent de zéro. Dans ce cas, les deux coefficients a et a' ne peuvent pas être nuls à Ta fois. Si c'est a qui est différent de zéro, on peut obtenir le système (2) équivalent au système (1) ; mais il n'y a pas de valeur qui, mise à la place de y, puisse vérifier la seconde équation de ce système, lequel n'admet pas alors de sohition ; il en est donc de même du système (1) qui lui est équivalent. On traduit le fait en disant que les deux équations proposées sont incompatibles.

Si l'on supposait a\ au lieu de a, différent de zéro, on arriverait au même résultat en tirant la valeur de x de la seconde équation pour la porter dans la première.

On pourrait aussi partir de l'hypothèse cb' — bc'^0 pour établir tout ce raisonnement.

En appliquant les formules (3) au cas qui nous occupe, c'està-dire quand on a à la fois ah' — ba' = 0 et ac' — ca' :^ 0, les inconnues se présenteraient Tune et l'autre sous la forme

TTl

-rri de la double hypothèse qui distingue ce cas, on déduit,

en effet, que cb' — hc' est aussi différent de zéro. Ici, comme dans les équations du premier degré à une inconnue, le symbole

-- indique V impossibilité.

ÉQUATrONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES 409

Lorsque deux équations se présentent sous la forme

ax -h by = c, kax H- kby = k'c, et que k est différent de kf, elles conduisent à Timpossibililé. On conçoit» en effet, que le produit par k du premier membre dx-h by de la première équation ne puisse pas être égal au produit du second membre c par un nombre k' différent de k .

2* flc' — ca' est égal à zéro^ mais Vun au moins des quatre coefficients a, a\ h, b' est différent de zéro. Si c'est a qui n'est pas nul, on peut obtenir le système (2) équivalent au système(i) ; mais toute valeur mise à la place de y vériûe la secopde équation de ce système, lequel admet alors une infinité de solutions ; il en est donc de même du système (1) qui lui est équivalent. On traduit le fait en disant que le système proposé est indéterminé.

Si, au lieu de a, on supposait différent de zéro tout autre des quatre coefficients a, a', 6, b\ on arriverait au même résultat.

On pourrait aussi partir de Thypothèse cV — bc =0 pour établir ce raisonnement.

En appliquant les formules (3) au cas qui nous occupe, c'està-dire quand on a à la fois ab' — ba' = 0 et ac' — ca' = 0,

les inconnues se présenteraient Tune et l'autre sous la forme

jj: de la double hypothèse qui caractérise ce cas, on déduit

en effet que cb' — bc' est aussi égal à zéro. Ici, comme dans les équations du premier degré à une inconnue, le symbole

t- indique V indétermination. Mais il va sans dire que dans

ce système indéterminé on ne peut donner de valeur arbitraire qu'à Tune des inconnues.

Lorsque deux équations se présentent sous la forme

ax + by = r, kax -^ kby = Ar, < les conduisent à l'indétermination. On le conçoit, car la ! econde équation n'étant que la première dont on a multiplié 5S deux membres par le même nombre A-, le système se réduit Qne seule équation.

3° a, a\ b et b' sont égaux à zéro. Si c et c' ne sont pas nuls,

le système (1) donne

et montre qu'il y a incompatibilité entre les deux équations qui le constituent.

Si c et & sont nuls, le système (1) se réduit à

et montre qu'il y a indétermination : les deux inconnues sont dans ce cas Tune et l'autre arbitraires.

En appliquant les formules (3) à chacun des deux cas qui se présentent ici, les inconnues se présenteraient lune et l'autre,

chaque fois, sous la forme -» mais dans le premier cas, ce

symbole indiquerait Y impossibilité et dans le second Vindétermination,

' § m. — Résolution d'un système de n équations du

premier degré à n inconnues.

77. D'après les théories exposées au § 1 du présent chapitre, la règle à suivre pour résoudre parla méthode de substitution, la seule dont nous nous occuperons ici, un système de n équations à n inconnues est la suivante :

On tire de Vune des équations la valeur de l'une des inconnues^ comme si les autres étaient connues ; on substitue cette valeur à Vinconnue correspondante dans les n — i autres équations et Von obtient ainsi un système équivalent au proposé, qui comprend une équation à n inconnues et n — i équations à n — i inconnues. De Vune des n — i équations à n— 1 inconnues on tire la valeur d'une deuxième inconnue^ comme si les autres étaient connues ; on substitue cette valeur à Vinconnue correspondante dans les n — 2 autres équations^ et l'on obtient ainsi un autre sijslème équivalent au proposé^ qui comprend une équation à n inconnues^ une équation à n — 1 in-