ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES
connues et n — 1 équations à n — 2 inconnues. On continue de la même manière jusqu'à ce qu'on anive à un dernier système, équivalent au proposé, qui comprend une équation à n inconnues^ une équation à n— i inconnues y une équation à n — 2 mconnues^ ...une équation à 2 inconnues et une équation à une inconnue.
De cette dernière équation^ on tire la valeur de la dernière inconntte; on porte cette valeur dans la précédente équation ^ qui n a plus alors qu'une inconnue ; la résolution de cette équation donne la valeur de V avant-dernière inconnue. En remontant ainsi dêquation en équation jusqu'à la première^ on calcule successitfment les valeurs de toutes les inconnues du système proposé.
78. Système de trois équations du premier degré ù trois inconnues. — Toute équation du premier degré à trois inconnues Xj y, z, ne peut contenir que quatre sortes de termes : des termes en x, des termes en y, des termes en z et des termes tout connus ; elle peut donc toujours être ramenée à la forme équivalente
ax -h 6j/ -h C3 = rf,
a, b,c et d étant des nombres connus qui sont les coeflicients de réquation. 11 s'ensuit qu'un système de trois équations du premier degré à trois inconnues peut toujours s'écrire
ax -^ by -h cz = dy
o!'x^lfy-\-d'z = d\
Si Ton suppose que a est différent de zéro, en tirant de la
première de ces équations la valeur de x pour la substituer
dans les deux autres, on élimine x et Ton remplace, toutes
simplifications opérées, le système proposé par le suivant,
qui lui est équivalent :
d — hy — cz
[aV — ba)y -f- {ad — ca')z = ad' — da',
{ab'---ba")y-^[ac' — cay = ad' — da\
et dans lequel les deux dernières équations ne contiennent plus que deux inconnues, y et s.
La question est ainsi ramenée à la résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
On sait qu*un système de ce genre admet une solution unique si le dénominateur commun des valeurs de y et r, qui esl
{ab' — ba'){ac' — ca') — («c' — co!){ab' — ha"), ' n'est pas nul.
Sous le bénéfice de cette hypothèse, on aura le système suivant, équivalent au proposé :
à — by — cz
(ad' — da'Xac'' ^ ca") ~ {ad — ca'){ad'--- doT) y - (ab' — ha'){ac" — ca") — {ac' — ca'){ab'' — ba") '
^ (g// -~ ba'){ad''--da') — {ad'^da'){ab'' — ha") ^ " [ah' — ba')[ac'' — ca") — [ac' — ca')[ab'' — bn') '
qui admet une solution unique.
Les valeurs de y et de s peuvent être simplifiées, en effectuant les produits indiqués, en supprimant ensuite les termes semblables et en divisant par le facteur commun a le numérateur et le dénominateur de chaque valeur. Si Ton remplace alors y et z dans la première équation du précédent système par leurs valeurs simplifiées, on obtient finalement le système suivant, qui équivaut au premier :
dh'c" — dc'b" ^ cd'h' - bd'r: -4- hc'd' --> cb'd' dbY — adh' -h ca'b' — ba'c' -h bc'a' — cb'a' '
ad'c" — ac/d' -^ ca'd' — dn'c'-h ddn" — cd'a' y ~ ab'c" — acV H- ca/b' — ba'c" -f- bc'n' — cb'a' '
^ nh'd' — ad'b"-^ da'h'^ ba'd"-^ hd'n"^ db'n' ^ ~ ah'c' — ac'b" -h ca'b" — ba'c" -f- bc'a" — cb'n" '
On dit queles équations de ce dernier système senties formules qui donnent la solution du système d'équations proposées.
Il est à remarquer dans la composition de ces formules : i» que le dénominateur est le même ; 2<* que ce dénominateur
REPRÉSENTATlOiN GRAPHIQUE DE l'ÉQUATION ax-\-by=C 413
peut être formé en écrivant d'abord les deux produits a6 et ba, en faisant occupera la lettre c, conoime troisième facteur, dans chacun de ces produits, successivement toutes les places à partir de la droite {abc, acb^caby bac, bca,cba), en mettant dans chacun de ces nouveaux produits un accent à la deuxième lettre et deux à la troisième, et en plaçant devant ces mêmes produits alternativement le signe -h et le signe — ; 3** que chaque numérateur peut se déduire du dénominateur commun, en y substituant aux coefficients de l'inconnue correspondante les fermes connus pris respectivement dans les mômes équations que ces coefficients.
L'ensemble de ces remarques constitue une règle pour obtenir immédiatement d'un système de trois équations du premier degré à trois inconnues la solution de ce système. La discussion de ces formules est très intéressante ; mais
comme elle sort du cadre de notre travail, nous ne nous y
arrêterons pas.
§ IV. — Représentation graphique de Téquation
ax-^by =:c,
79. Définitions. — Pour fixer dans un plan la position d'un point, on trace d'ordinaire deux droites qui se coupent sous an angle quelconque. Ici nous supposerons les droites rectangulaires. Soient (fig. 1) X'X et YY' ces deux droites, et 0 leur intersection.
Q I I Soit d'autre part le point M du
j plan. Si par ce point on mène
p X une parallèle à chacune des droites X'X et YY', ces parallèles , déterminent sur ces droites, à
partir du point 0, deux longueurs
^'^- *• OP et OQ qui fixent le point M
dans le plan. En effet, si ces deux longueurs OP et OQ sont
portées respectivement sur X' X et YY', à partir du point 0, et
chacune dans le sens qui lui convient, on obtient les deux points P et Q et pas d'autres ; puis si par ces deux points on mène aux droites YY'et X'X les parallèles PM etQM, ces parallèles se rencontrent nécessairement et en un seul point, qui est le point M.
La longueur OP s'appelle IVi^^cisse du point M, la lon^eur OQr son ordonnée, et les deux longueurs portent le nom commun de coordonnées du point.
- Le point 0 est V origine des coordonnées, et les droites X'X et YY' en sont les axes, La première porte le nom particulier d'axe des abscisses ou des x et la seconde celui d'axe des ordonnées ou des y.
Par convention, Tabscisse d'un point est positive si elle est comptée dans le sens OX, et elle est négative dans le sens contraire OX'. De même, l'ordonnée d'un point est positive lorsqu'elle est comptée dans le sens OY, et elle est négative dans le sens contraire OY'.
80. Représentation graphique d une équation à deux inconnues. — Soit une équation de degré quelconque à deux inconnues, de la forme
y z= ax^ H- /ya?™~* -h . . . -h â:j? -4- /. On conçoit qu'à toute valeur arbitraire Xi attribuée à x correspond pour y une valeur déterminée î/|. Il s'ensuit que si,
après avoir construit dans Y un plan deux axes rectan-
gulaires {fig. 2), on porte sur l'axe des x une longueur Xi = OP, et sur l'axe des y une longueur j/i =0Q, et qu'on mène ensuite par le point P une parallèle à Taxe des y et par le point Q une parallèle à l'axe des jr, on détermine un point M du plan, et un seul, qui répond aux deux valeurs Xi et y^ des deux variables de l'équation considérée. On peut ainsi déter-
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE l'ÉQUATION aX'hby = C 415
miner pour chaque valeur de x un point correspondant du plan; de sorte que si Ton fait, dans cette équation, variera; d'une manière continue de — oo à -f-oo , le point P décrit Taxe X'X et le point M une courbe qui est la représentation graphique des variations de y en même temps qu'elle est celle de TéquatioD proposée.
Cela posé, venons à Téquation du premier degré à deux inconnues
(1) ax-fby = c,
et considérons d*abord les trois cas particuliers résultant respectivement des trois hypothèses suivantes :
1<> Si a = 0, ô et c étant différents de zéro, Téquation (1) prend la forme
(2) by = c,
d'où Ton tire î/ = —.
Cette dernière relation montre que tout point du plan dont
l'ordonnée estégaleà — satisfait àTéquation (2) ; il s'ensuit que
ce point se trouve (^r/. 3) sur la parallèle AB à Taxe des x
Y distante .de cet axe d'une lon-
gueur OQ = — » et située au-
dessus ou au-dessous de X'X
suivant que y est positif ou
"X' ÔT X négatif. Réciproquement, tout
point de la droite AB ayant pour
Y' ordonnée' — satisfait à Téqua-
i-^ig-3. tion(2).
n résulte de là que toute équation de la forme
est représentée par une parallèle à Taxe des x.
2» Si 6 = 0, a et c étant différents de zéro, l'équation (1) prend la forme
(3) ax = c,
d OU r = — •
Cette dernière relation montre que tout point du plan dont
r abscisse est égale à — satisfait à Téquation (3) ; il s'ensuit
que ce point se trouve (fig, 4) sur la parallèle CD à Taxe des y distante de cet axe d'une longueur
vt
OP = — et située à droite ou à
gauche de YY' suivant que —
Fig.
est positif ou négatif. Récipro-
quementy tout point de la droite
CD avant pour abscisse — satis-
fait à réquation (3).
11 résulte de là que toute équation de la forme
est représentée par une parallèle à Taxe des y.
3*» Si 0 = 0, a et b étant différents de zéro, réquation(i) prend la forme (4) </x4-6î/ = 0,
d'où Ton tire
Si, dans cette dernière relation, on fait d'abord x = 0, on a ?/ = 0, ce qui établit en premier lieu que l'origine des coordonnées est un point de la ligne cherchée. Si Ton fait ensuite
Fig. 5.
BEPEÉSENTATION GRAPHIQUE DE l'ÉQUATION ar-hftj/=C 417
X =b, on a y = ^a, c'est-à-dire qu'on obtient un second
point M (fig, 5) situé dans Tangle Y'OX si a et i^ sont positifs, dans Tangle YOX si a est négatif et * positif, dans Tangle YOX' si a et 6 sont négatifs^ dans Tangle TOX' si a est positif et b négatif. Enjoignant par une droite le point 0 au point M et en prolongeant au delà des deux
points 0 et M, on a la droite OM qui représente l'équation (4). En effet, tout ensemble de deux valeurs oti et yt qui satis-
fait à l'équation (4) donne un rapport — égal à — r- • Si Mi
est le point qui a pour coordonnées ces valeurs, en menant par ce point la parallèle MsPi à YY' et en le joignant ensuite à l'origine des coordonnées, on obtient un triangle rectangle OPiMi dans lequel on a
M|Pi Vi^ __ ^^
OPi Xi b '
D'autre part, on a pour le point M de la droite OM
MP a
