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et yj = T-Xt' C. Q. F. D.
On arriverait au même résultat si le point était pris sur le prolongement OM' de la droite OM.
La position de la droite OM dans la figure répond au cas où
le rapport -j- est positif ; si ce rapport était négatif, la droite
OM serait dans Tangle YOX et son opposé par le sommet Y'OX'. Ainsi, toute équation de la forme
ax-^by =0
ou y = mx
est représentée par une droite oblique aux deux axes et passant par Torigine des coordonnées.
Le nombre m s'appelle le coefficient angulaire de la droite.
Revenons maintenant à Téquation générale
ax-^-by = c, qu'on peut écrire
Si, après avoir construit la droite OA (fig, 6) qui représente TéquatioD y = — -r-ar,
on porte sur des parallèles menées à Taxe des y par chacua des points A, Ai, etc., de cette droite, des longueurs égales à
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE l'ÉQUATION aX'\-by=C 419
-7- et dans le sens indiqué
par la valeur du rapport -h -; i
on obtiendra des points M,
Ml, etc., qui seront sur une
[^ même droite, parallèle à OA,
et cettQ droite représentera
réquation générale ci-dessus.
En efTet, d'une part, tous les
points ainsi déterminés seront
sur cette droite; d'autre part,
tous les points de cette droite auront des ordonnées qui difTë-
reront de celles des points de même abscisse de la droite OA
d'une longueur constante -7- et par conséquent vérifieront par
leurs coordonnées l'équation considérée.
U résulte de là que toute équation de la forme
ax -^ by =: c
est représentée par une droite oblique aux deux axes.
Pour construire la droite qui représente une équation de la forme précédente, on en détermine deux points en faisant dans cette équation successivement x et y égaux à zéro ; on obtient ûnsi les deux relations
et
qni donnent respectivement l'ordonnée d'un point G d'abscisse nulle et l'abscisse d'un point D d'ordonnée nulle. On joint ensuite les deux points.
81. Remarque I. — Si dans l'équation ax -}- by =: c^ mise sous la forme
on considère x comme une quantité variable susceptible de prendre toutes espèces de valeurs, y sera aussi une variable
dont les valeurs dépendront essentiellement de celles de x< Ton traduira ce fait en disant que y est fonction de x.
En se plaçant à ce point de vue, la droite représentative d l'équation envisagée montre que lorsque x varie d'une manier continue de — oo à +00» y varie aussi d'une manier continue de -+-00 à — 00 ou de — » à -h 00, soi vantque la droite se trouve dans rangle Y'OX et son oppos( par le sommet ou dans les deux autres angles, autrement dit
suivant que le rapport -z- est positif ou négatif.
Remarque II. — La représentation géométrique des équa tions À deux inconnues donne le moyen de résoudre un système de deux équations de ce genre. Pour cela on construit les lignes figuratives de ces équations, et les ordonnées de chaque poinl d'intersection de ces deux lignes entre elles fournissent une solution du système.
Lorsqu'il s'agit de deux équations du premier degré à deux
inconnues
ax+ by = c,
si les deux droites représentatives se coupent, le système admet une solution et une seule ; si elles sont parallèles, les équations sont incompatibles et le système n'admet aucune solutioa; enfin si les deux droites se confondent, le système est indéterminé et admet une infinité de solutions.
Et ces trois cas correspondent efi'ectivement aux trois groupes de conditions suivantes :
(A) ab' — 6a' 9zf: 0 ;
( ab' — ba! = 0,
( ab' — ba'^Q, ^^^ \ ad - ca' = 0.
