A UNE INCONNUE

§ I. — Résolution de réquatlon du second degré

à une inconnue.

82. Toute équation du second degré aune inconnue ne peut contenir que trois espèces de termes : des termes du second de^, des termes du premier degré et des termes tout connus. Il s'ensuit que par une transposition de termes et une réduction de termes semblables, une équation de cet ordre peut iour jours être ramenée à la forme équivalente

(1) ax* -^ bx -\- c = 0,

^^ b ei c étant des nombres connus que Ton appelle les coefficients de Téquation, et x représentant rinconùue.

Pour obtenir ce résultat, il suffit de faire passer tous les termes dans le premier membre et de procéder ensuite à la rédaction des termes de chaque degré et des termes constants.

La résolution de cette équation générale du second degré se ramène à celle d*une équation du premier degré par la transformation du premier membre en la somme algébrique du carré d'un binôme du premier degré et d'un nombre constant, d'où Ton tire ensuite la valeur de ce carré, puis celle du binôme lui-même par une extraction de racine carrée. Pour C€la, on considère les deux premiers termes de l'équation (1) comme les deux premiers termes du développement ordonné du carré d'un binôme du premier degré, et pour éviter des ndicaux et des dénominateurs, on a soin de multiplier au

préalable les deux membres de cette équation par la quantité 4a (a étant supposé différent de zéro) ; on a ainsi réquatioo équivalente

(2) ia'^x* -h iabx -t- 4ac = 0.

Sous cette nouvelle forme, si les deux termes 4a*x' et Aabx sont les deux premiers termes du carré ordonné d'un binôme du premier degré, le premier de ces termes, ia'or*, est le carré du premier terme du binôme, qui est ainsi 2aar ou — 2ax. car Ton démontre que tout nombre positif a deux racines carrées algébriques de même valeur absolue j Vune positive et Vautre négative. Le second terme de Téquation, 4a6ar, est le double produit des deux termes du binôme ; l'un de ces derniers étant iLax ou — 2ax, l'autre est nécessairement

ou — - — 1 c'est-à-dire b on — b. Le binôme du

^ax — 2flur

premier degré est dès lors ^ax -+- é ou — 2ax — b. Or son

carré, sous Tune et Tautre de ces formes, est 4a'a:* + \abx -f- 6'.

De sorte que si Ton ajoute et si Ton retranche au premier

membre de l'équation (2) la quantité b^y cette équation peut

s'écrire

4a*a?* -4- Aabx -h 6* — 6* -+- 4ac = 0,

ou sous la forme équivalente

(2aa: -+- bf — 6» -h 4ac = 0,

ou encore, en isolant dans le premier membre l'expression

(2rt.r 4- 6)«,

(3) (2fl^H-ô)« = 6* — 4ac.

Ici, trois cas se présentent :

1° b^ — 4ac > 0. En extrayant la racine carrée des deux membres de cette dernière équation, il vient

^ax^b = ±^W-^\€LC, équation du premier degré d'où Ton tire

,,, —b±ylb^ — \ac

On trouve ainsi deux racines et l'on n'en trouve que deux. En désignant la plus petite par x' et la plus grande par sif^ on a