ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

if =

^h — ^lb^"

-4ac

-4ac

2« ^* — 4ac = 0. L'équatioQ (3) devient

(2aa: + *)* = 0,

et ne peut être satisfaite que par la seule valeur de x égale à

— — • Dans ce cas Téquation du second degré n'a qu'une

racine.

Cependant, si Ton suppose que 6* — iac est très petit au lien d'être égal à zéro, Téquation envisagée a pour racines les deux valeurs que donne la formule (4) ; en admettant ensuite que 6' — iac diminue indéfiniment et tende à devenir nul, les deux racines varient en se rapprochant sans cesse Tune et

l'autre de la quantité — — i qu'elles atteignent lorsque

6* — 4ac est égal à zéro. Pour cette raison, on dit, dans ce cas, que l'équation du second degré a encore deux racines, mais que ces deux racines sont égales.

3* [b* — 4ac < 0. On ne peut pas extraire la racine carrée des deux membres de l'équation (3), un nombre négatif n'ayant pas de racine carrée. Dans ce cas, Téqualion du second degré n'a pas de racines.

Toutefois, dans un but de généralisation, on considère encore la formule (4) comme donnant les deux racines de Téquation envisagée ; mais l'expression ^ b^ — Aac n'a plus alors aucun sens : c'est un symbole nouveau qu'on introduit dans le calcul algébrique sous le nom à!expression imaginaire^ et l'on dit que l'équation du second degré^ dans le cas qui nous occupe, a deux racines imaginaires.

Par opposition, on appelle réelles les racines positives et négatives, et Ton donne à la quantité b^ — 4ac dont le rôle est ici fondamental, le nom de discriminant de l'équation du second degré.

Pour résumer cette discussion, nous dirons que l'équation

du second degré à une inconnue ax* -h 6x -4- c = 0 admet toujours deux racines que donne la formule (4) et qui sont :

1® réelles et distinctes^ si Ton a 6* — Aac > 0 ;

2® réelles et égales, — i" — 4ac = 0 ;

3° imaginaires^ — 6* — 4ac < 0.

83. Remarque I. — L*équation du second degré peut encore être résolue en la mettant préalablement sous la forme

a?* -f- px -h 7 = 0,

ce qui se fait en divisant les deux membres par a et en posant

— = p et — = q. On obtient alors la formule

(6) ar = -|-±v/^*-<Z,

qui peut aussi se déduire de la formule (4), et qui donne les deux racines de Téquation.

On trouvera plus loin (88) un troisième procédé de résolution tout à fait différent des deux précédents, qu'on peut dire plus élégant et auquel vont beaucoup de préférences.

Remarque II. — On convient d'appliquer aux expressions imaginaires toutes les règles de calcul établies pour les quantités réelles, en admettant que le carré de ^ — a est — a.

84. Cas particuliers. — Tout le raisonnement qui précède repose sur la seule hypothèse a:^0. Il nous reste à examiner les différents cas qui peuvent se présenter lorsqu'un ou plusieurs coefficients de l'équation du second degré deviennent nuls.

i° a et b sont différents de zéro, et c est nul. L'équation (i) se réduit à

(7) ax* -H 6a? = 0,

et la formule (4) donne

ou, par la séparation des racines,

x' = et x" = 0.