ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
Ce résultat peat être obtenu en résolvant directement Téqualion (7). Pour cela, on remarque, en la mettant sous la forme
x{ax -h ^) = 0,
qu^elIe est équivalente (63) au système des deux équations du premier degré ar = 0, ax h- ô = 0, qui donnent deux
racmes, 0 et
l"* a et c sont différents de zéro^ et h est nul, L* équation (1) se réduit à (8) ax* -h c = 0,
et la formule (4) donne, après simplification,
Si la quantité est positive, Téquation a deux racines
réelles, égales en valeur absolue et de signes contraires ; si elle est négative, les deux racines de Téquation sont imaginaires.
On obtiendrait le même résultat en résolvant directement Téquation (8).
Z"^ h et c sont différents de zéro, et a est nul. L'équation (i) s'abaisse au premier degré et devient
et n'a qu'une seule racine,
Toutefois, si l'on suppose que a est très petit au lieu d'être
égal à zéro, et qu'on cherche qe que deviennent les racines
données parla formule (4) lorsque a tend vers zéro, on trouve
qne l'une de ces racines devient infinie, tandis que Fautre
devient égale à — -v- • C'est ce qui permet de rattacher ce cas
particulier au cas général et de dire qu'il comporte deux racines comme les précédents.
On arrive à ce résultat soit en partant de la formule (4), soit en raisonnant sur une équation qui a pour racines les inverses des racines de l'équation (i).
4° a est différent de zéro^ b et c sont nuls. L'équation (1) se réduit à
(10) ax« = 0,
et la formule (4) donne
Les deux racines sont uulles. Ce résultat, évident d'ailleurs, se déduit directement de l'équation (10).
5*» c est différent de zéro^ a et b sont nuls. L'équation qui a pour racines les inverses des racines de l'équation (1) devient
cif = 0 ;
ses deux racines sont nulles et par conséquent les deux racines de l'équation (l)sont infinies, l'inverse de zéro étant l'infini.
85. Relations entre les coefUcleats et les racines de l'équation du second degré à une Inconnue. — 11 existe entre les coefficients et les racines de l'équation du second degré à une inconnue deux relations simples qu'il importe beaucoup de connaître parce qu'elles sont de la plus grande utilité. Elles se traduisent ainsi en langage ordinaire :
Dans l'équation du second degré ax^ -+-6a?-f-c=0: l^ la somme des deux racines est égale et de signe contraire au quotient du coefficient de x divisé par le coefficient de a?*, c'est-à-dire à
; go le produit de ces deux racines est égal au quotient du
terme tout connu divisé par le coefficient de ar*, c'est-à-dire à — •
On en fait la démonstration, en additionnant d'une part, et en multipliant d'autre part, membre à membre, les deux relations (5) que donne la formule (4) parla séparation des racines de l'équation du second degré.
La découverte de cette double relation peut être amenée en partant des identités
ax'^ 4- ôx' H- c ^ 0,
ax"^ -hbx"-\-c=0,
qui résultent de la substitution à x, dans l'équation
ax^-hbx-^c =i 0, successivement de chacune des racines x' et z'de cette même équation.
Si l'on divise les deux membres de chacune d'elles par a et qae Ton considère les identités résultantes
comme deux équations du premier degré à deux inconnues
— et — j la résolution de ces équations donne
ar'-f-a/' = ,
Ce mode de démonstration nous parait supérieur au précédent, parce qu'il est réellement un procédé de recherche et que Tantre suppose connues les relations à établir.
11 en est de môme de celui que Ton tire de la décomposition du premier membre de Téquation du second degré en un produit de deux facteurs du premier degré (88).
Remarque. — Le théorème précédent permet d'écrire immédiatement réquation du second degré à une inconnue dont on donne les deux racines, ainsi que celle, de même espèce, à laquelle conduit la recherche de deux nombres dont on donne la somme et le produit. Il sert aussi à déterminer, à la seule inspection d'une équation du second degré à une inconnue, le signe de chacune de ses racines lorsqu'on s'est préalablement ^suré que ces racines sont réelles.
|§ II. — Trinôme du second degré.
86. On donne le nom de trinôme du second degré au polynôme entier en x de la forme ax^-{-bx -hc^ dans lequel on considère a, 6 et c comme des nombres donnés qui restent
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constants et x comme un nombre essentiellement variable qui peut prendre toutes les valeurs possibles depuis — co jusqu'à -i- 00 .
Pour simplifier le langage, on convient d'appeler racines de ce trinôme les racines de l'équation obtenue en égalant le trinôme à zéro.
La connaissance des propriétés du trinôme du second degré est indispensable pour Tétude d'un très grand nombre de questions algébriques.
87. Formes diverses du trinôme. — Si Ton divise par a, supposé différent de zéro, chacun des termes du trinôme et qu'on multiplie ensuite par cette même quantité a le quotient obtenu, on a identiquement
ax^
bx-^c ^ a{x*-\ x-i I •
En considérant ensuite les deux premiers termes, x^ H x,
de l'expression mise entre parenthèses, comme les deux
premiers termes du carré ordonné du binôme a? -h -5-» si
Ton ajoute et retranche à la fois, dans la parenthèse, la quan-
tité -z—r complémentaire de ce carré, il vient 4a'
a.«-4-6x + c^«[(x+Ay-(i^Zl4^)].
Or la quantité b^ — iac peut être positive, nulle ou négative.
l^ Si ft* — 4ac est une quantité positive, l'expression
^« 4ac / Jb^ 4a c \ *
— j—^ — peut s'écrire identiquement ( - — 1 , et Ton a
ax'4-ftx + c = a[(u:-H^y-(^^*l^)'].
2° Si 6* — 4ac est une quantité égale à zéro, on a
ax* -i-6a:-f-c^a(ar-4- -^— j • 3*> Si b^-^lac est une quantité négative, l'expression
(uc* -\- bx -h c ^
4(ic — b^ b^ — 4fl6' — T-^ — est positive ; or comme elle est égale à r-j —
et qu'elle peut s'écrire identiquement ( — — ^^ — j , on a
0^. + 6^^e = «[(x + Ay -H (i*2|z±.y].
En résumé, le trinôme du second degré ax* -h ôx -F c, dans ^hypothèse que a n'est pas nw/, peut s*écrire identiquement sous la forme du produit de a par la différence de deux carrés^ par un carré, ou par la somme de deux carrés, selon que 6* — Aac est supérieur, égal ou inférieur à zéro.
Dans la première forme, à la différence des deux carrés on peut substituer identiquement le produit de la somme de leurs racines carrées par la différence, c'est-à-dire un produit de deux facteurs du premier degré, et Ton a
^T^ Ta J^-^ Ta )•
La seconde forme a(a?-i--^ j présente de son côté le
carré d'une expression du premier degré.
Ces considérations permettent d'ajouter à ce qui précède : lorsque é* — Aac n'est pas inférieur à zéro, le trinôme du second degré se décompose en un produit de deux facteurs du premier degré.
88. Remarque. — Ces diverses propriétés du trinôme du second degré fournissent le moyen de résoudre l'équation du second degré à une inconnue par un procédé qui consiste à décomposer le premier membre de cette équation en un produit de deux facteurs du premier degré et à résoudre les deux équations du premier degré obtenues en égalant respectivement à zéro chacun de ces facteurs. Dans le cas où b^ — Aac est i^égalif, on convient d'appliquer encore cette décomposition ^ admettant que /»* — Aac est encore le carré de Texpressioû imaginaire v/ à* — Aac, ce qui permet alors de regarder le premier membre de l'équation du second degré comme pouvant se transformer en un produit de a par la différence de
deux carrés et par suite en un produit de a et de deux facteors imaginaires du premier degré.
La décomposition du trinôme du second degré en un produit de deux facteurs du premier degré trouve une autre application dans la simplification des fractions algébriques dont les deux termes sont au plus des polynômes du second degré. Si les deux équations obtenues en égalant à zéro ces deux termes ont, en effet, une racine commune, on obtient par la décomposition un facteur du premier degré commun aux deux termes, que Ton peut supprimer. Cette simplification s'impose pour obtenir la vraie valeur d'une expression algébrique fractionnaire, lorsque les deux termes s'annulent par la substitution de certains nombres ou de certaines lettres à une ou à plusieurs lettres qui entrent dans cette expression.
89. Signe du trinôme. — Lorsque dans le trinôme du second degré on donne à x des valeurs pouvant varier de — x à -4- « , ce trinôme prend des valeurs correspondantes, qui sont, suivant le cas, positives ou négatives. Le simple examen du trinome, mis sous une des formes précédentes, permet de déterminer dans chaque cas la nature de son signe. En effet :
i* Si les racines du trinôme sont réelles et distinctes, en désignant par x' et x" ces deux racines, respectivement égales
à — — ^^-~ et -1 x' étant ainsi
ta ta
plus petit que x% on a
ax'^ -H ÔJ? -h c ^ a[x — x'){x — ar*),
et Ton voit ainsi : que pour toute valeur de x inférieure à a:' les deux facteurs [x — x) et [x — x") sont négatifs, que leur produit est positif et par suite que le trinôme prend le signe de a ; que pour toute valeur de x comprise entre xf et .t" les deux facteurs [x — x') et [x — x/') sont, le premier positif et Fautre négatif, que leur produit est aussi négatif et par suite que le trinôme prend le signe de — a\ enfin, que pour toute valeur de x supérieure à x" les deux facteurs (x — x') et (x— a?") sont positifs, que leur produit est aussi positif, et par suite que le trinôme prend le signe de a.
TftINOfflE DU SECOISD DEGRÉ 431
^ Si les racines sont réelles et égales, en désignant par a/
leur valeur commune — -^r-, on a
(Up* 4- 6aî 4- c ^ a{x — a:')",
et Ton voit ainsi que pour toute valeur de a: différente de a?', le carré {x — a/)* est toujours positif, et, par suite, que le trinôme est toujours du signe de a. Pour la valeur
X = a/ = — -- le trinôme s'annule.
za
d"" Si les racines sont imaginaires, on a
Quelle que soit la valeur attribuée à a:, le carré ( x 4- -^ j
4ac -— b^ est toujours positif, et comme la quantité — 7—5 — est aussi
positive par hypothèse, il s'ensuit que la quantité placée entre crochets est elle-même toujours positive ; d'où il suit que le trinôme est toujours du signe de a.
En résumé : Lorsque le trinôme du second degré a ses racines réelles et distinctes, il prend le signe de a pour toute valeur de x non comprise entre les deux racines^ et le signe de — a pour toute valeur de x comprise entre ces deux racines ,
Si le trinôme a ses racines égales^ il prend le signe de a pour
toutes les valeurs de x^ sauf pour la valeur a? = — -r — qui
annule le trinôme.
Si le trinôme a ses racines imaginaires^ il prend le signe de a pour toutes les valeurs de a*, sans aucune exception.
