Comparaison des racines du trinôme à un nombre donné

— Sans connaître les racines d'un trinôme du second degré, mais après en avoir déterminé la nature, on peut, en s'appuyant sur le théorème précédent, trouver, lorsque les racines sont réelles, si un nombre donné est inférieur à la plus petite racine, ou compris entre les deux, ou supérieur à la plus grande.

432 ALGÈBRE TUÉORIQDE

Soit un nombre a que nous substituons à x dans le trinôme du second degré ; deux cas peuvent se présenter :

i® Si le trinôme prend le signe de a, les racines étant reconnues réelles — car elles pourraient être imaginaires — a est moindre que les deux racines ou leur est supérieur. En comparant a à la deoM-somme — — des racines, qui est comprise entre ces deux racines, si a est plus grand que — -5— il est aussi plus grand que les deux racines, et si a est plus

petit que — -^ il est aussi plus petit que les deux racines.

2^ Si le trinôme prend le signe de — a, les racines sonl réelles et distinctes ; on sait en effet que si elles étaient réelles et égales, ou imaginaires, le trinôme ne prendrait pour aucune valeur réelle de x ce signe de — a ; mais alors a est compris entre les deux racines, car s'il en était autrement le signe du trinôme serait celui de a.

Ainsi : Lorsqu'un nombre a mis à la place de x dans le trinôme du second degré donne à ce tiinome une valeur dont U signe est celui de a, les deux racines du trinôme sont réelles ou imaginaires ; quand elles sont réelles, a leur est inférieur s'il

est plus petit que — -3—» et il leur est supérieur s'il est plus

grand que — — •

Lorsque le signe du trinôme est celui de — a, les racines du trinôme sont réelles et distinctes et a est compris entre ces deux racines.

91. Séparation des racines du trinôme. — Lorsque deux nombres sont tels que Tun est plus petit et l'autre plus grand qu'une seule des racines d'un trinôme du second degré — et d'une manière générale d'un polynôme quelconque entier en X égalé à zéro — on dit que ces deux nombres séparent cette racine. *

Effectuer une séparation de racines dans un trinôme du second degré, c'est donc trouver deux intervalles qui com-

prennent chacun une des racines de ce trinôme. Cette opération facilite les calculs dans beaucoup de cas. Elle repose sur le théorème suivant :

Pour que deux nombres ol et p séparent une racine du trinôme du second degré j il faut et il suffit que les résultats de la substitution de OL et de ^ à x dans ce trinôme soient de signes contraires.

En effet, si les résultats sont de signes contraires, le trinôme prend le signe de — a pour Tun des deux nombres, a par exemple^ et, d'après ce qui précède, les deux racines sont réelles et distinctes, et le nombre a est compris entre les deux racines ; le nombre ^ fait dès lors prendre au trinôme lé signe de a et se trouve en dehors des deux racines ; les deux nombres a et ^ séparent ainsi une racine. La condition est donc suffisante.

Si ce et p séparent une racine, Fun de ces nombres est nécessairement compris entre les deux racines et l'autre est en dehors : le premier fait prendre au trinôme le signe de — a et l'autre le signe de a. La condition est donc nécessaire.

Remarque. — Il résulte de ce qui précède que lorsque deux nombres a et p substitués à x dans un trinôme du second degré dont les racines sont réelles et distinctes donnent à ce trinôme des valeurs de même signe, ils ne séparent aucune racine ; dans ce cas, ils sont Tun et Vautre ou compris entre les deux racines du trinôme, ou situés en dehors de ces racines.

Pour établir ce fait, supposons d'abord que les résultats des deux substitutions soient du signe de *— a ; il s'ensuivra (90) que les racines du trinôme sont réelles et distinctes et que chacun des nombres a et p se trouve compris entre ces racines.

Si les deux résultats sont du signe do a, les racmes du trinôme peuvent être réelles ou imaginaires. Si elles sont réelles, les deux nombres a et ^ sont l'unetTautre en dehors de ces racines (90). En comparant ces nombres à la quantité

DAOZAT. — MiTHODOL. 2 S

— -—> qui est la valeur commune des racines lorsqu'elles sont

égales, et la demi-somme des racines lorsqu'elles sont distinctes, on voit s'ils sont Tun et l'autre plus petits ou plus grands que cette quantité ou bien s'ils la comprennent entre eux, auxquels cas ils sont l'un et Vautre inférieurs ou supérieurs aux racines, ou bien situés de part et d'autre de ces racines.

92. Variations du trinôme. — Sous ce titre nous allons étudier la marche que suit dans ses variations la valeur du trinôme du second degré lorsqu'on y fait croître x, d'une manière continue, de — 00 à + « .

Pour cela, démontrons d'abord le théorème qui suit :

Lorsque dans le trinôme du second degré on fait varier x d'une manière continue de — x à -i- co', la valeur du trinôme varie d'une manière continue,

£n représentant par y la valeur du trinôme qui correspond à une valeur quelconque de x, on peut écrire

y = ax^ -h bx -^ c.

Soient xo et x^-i- h deux valeurs de x très rapprochées l'une de l'autre ; désignons par t/o 6t t/o -+- A les valeurs correspondantes de y. On aura les deux relations

yo = axl + bxQ -4- c,

y^-+- k =2 a{xQ -i- h)* + b (xo -h A) -H c.

En les retranchant membre à membre, il vient

k = ^ax^h -f- ah^ -h bh

= h{2axo -^ ah -h b).

Il s'agit de prouver, à l'aide de cette relation, que Ton peut toujours donner à h une valeur absolue assez petite pour que la variation k du trinôme ait une valeur absolue plus petite que tout nombre positif donné, quelque petit qu'il soit.

Nous pouvons supposer que la valeur absolue de h est moindre que l'unité ; il en résulte que la valeur absolue de la quantité iaxo h- «A + 6 est inférieure à la somme des valeurs absolues des nombres 2axo, a et b. Si nous désignons

par m cette somme, on aura que la valeur absolue de k est moindre que celle de hm. Or, pour que k soit, d'autre part, en valeur absolue moindre qu'un nombre positif £ aussi petit que Ton voudra, il suffira que l'on ait, en ne considérant

toujours que des valeurs absolues, Am < s ou ft< — i ce

qui est toujours possible» et a fortiori aura-t-on alors que la valeur absolue de k est plus petite que £. Ainsi, à une va-

riation pour x inférieure en valeur absolue à — correspond

pour le trinôme une variation inférieure en valeur absolue au nombre & quelque petit qu'il soit. Notre théorème est ainsi démontré.

Il nous reste à étudier le sens des variations du trinôme quand x croît de — oo- à -h oo .

A cet effet, mettons le trinôme sous la forme

Vf b y Aac — b^ 1

el considérons successivement les deux cas qui se présentent suivant que l'on a a>0 ou a<0.

1** a est positif. Le trinôme, ou y y étant le produit du

nombre fixe a et de la somme de deux quantités, Tune cons-

^ac b^ f b\^

tante r — » et l'autre variable (arn- -— ) ^ pour en

suivre les variations il suffît de voir comment varie cette dernière quantité.

b Si l'on fait croître oc de — oo à — — i la quantité

* + "S^ est négative, elle croit de — oc à 0, sa valeur za

absolue décroît donc de -h oo à 0 et il en est de même de

son carré (^-^"ô"*) " ^® ^^^*^® ^^^ ^ croissant de a — — , y décroît de h- oo a

ta '' Aa

Si X croît ensuite de — — à H- o^, la quantité

X + ^- devient positive, elle croît de 0 à -h oo et il en est

de môme de son carré ( ^ ~*" "3" ) • ^® sorte que x croissant

de — ;r— à H- 00, V croit de ; à -i- oc.

ta ^ 4a

Cette discussion se résume ainsi qu'il suit :

— 00 ... croit ... — —— . . . croit ... -+- oo

H- 00 ...décroît... ; ... croit ... 4-00.

Il est à remarquer que la quantité — j 1 èi partir

de laquelle y cesse de décroître pour varier en sens contraire, est la valeur minima du trinôme, et que cette valeur est atteinte

pour X = — T— ; il s'ensuit que le trinôme, dans Tensemble

de ses variations, passe deux fois par toutes les valeurs ezclusivement comprises entre j et -h 00, une pre-

b Aac — 6*

ap> — ;;— • De plus, si la quantité — ; estinférieure

2a Aa

à zéro, c'est-à-dire si h^ — Aac est positif, le trinôme s'annule deux fois pour deux valeurs différentes de a? ; si

j- est supérieur à zéro, c'est-à-dire si o* — 4ac est

négatif, le trinôme reste toujours positif et ne s'annule pas ;

Aac — b^ enfin si ; est égal à zéro, c'est-à-dire si 6* — Aac

Aa

est nul, le trinôme s'annule, mais une seule fois, pour la valeur 6

Ces considérations mettent de nouveau en évidence les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients du trinome ou de Téquationdu second degré à une inconnue pour que les racines en soient réelles ou imaginaires, et, dans le cas de la réalité, pour qu'elles soient distinctes ou égales.

2° a est négatif. Dans ce cas, la valeur du trinôme, ou de y, a le signe contraire à celui de la somme des quantités

(x-+--— -J et — 7-5 — ; elle croit donc quand cette

somme décroît, et vice versa. En en suivant les variations par le procédé précédent, on trouve les résultats suivants :

— 00 ... croît ... — rr- . . . croît . . . -^ oo

la

Aac —6*

— 00 ...croît... ; ...décroît... — oo.

Aa

4ac é«

Ici, la quantité — j- — , à partir de laquelle y cesse de

croître pour varier en sens contraire, est la valeur maxima du

iriBoa.e et cette valeur est aussi atteinte pour x = - ± •

Il s'ensuit que le trinôme, dans l'ensemble de ses variations, passe deux fois par toutes les valeurs exclusivement com-

prises entre r et — oo, une première fois pour

X < — — et une seconde fois pour «z^ > — 5- • De plus

si la quantité j- est supérieure à zéro, c'est-à-dire

si b^ — 4ac est positif, a étant négatif, le trinôme s'annule

deux fois pour deux valeurs différentes de or ; si r

est inférieur à zéro, c'est-à-dire si 6' — 4ac est négatif, le trinôme reste toujours négatif et ne s'annule pas ; enfin, si

{ac i*

— r est égal à zéro, c'est-à-dire si b^ — 4ac est nul,

le trioome s'annule, mais une setile fois pour a? = 3- •

'^ Za

On retrouve pour la réalité, l'inégalité ou l'égalité des racines du trinôme ou de l'équation du second degré à une inconnue, au cas où a est négatif, les mêmes conditions que précédemment.

438 ALGÈBRE rUÉORIQUE

Remarque. — Dans tous les cas, quelles que soient les racines du trinôme, quel que puisse être aussi le signe de a, les deux

valeurs de ar, Tune inférieure et Tautre supérieure à — -—>

za

pour lesquelles le trinôme prend une môme valeur, sont toujours équidistantes de cette dernière quantité.

En effet, considérons le trinôme sous la forme connue

et représentons par k la valeur que prend le carré ( ar + -— j

dans une valeur donnée de t/. Cette valeur de y sera

4ac — 6*

el les deux valeurs correspondantes de x se déduiront de la relation

et seront données par la formule

2a Que k soit positif ou nul — il ne peut être négatif — les deux racines

a?' = —-5 sfJc et x" =z-'-—'^y/Tc

mettent bien en évidence Tobjet de la présente démonstration.