Représentation graphique des variations du trinôme

Pour rendre plus frappantes que dans les tableaux précédents les variations du trinôme ax* -hbx-h c, quand on fait croître ar de — oo à -h » , on figure géométriquement la marche des valeurs successives que nrend ce trinôme.

Ce graphique s'obtient, après avoir posé y = ax^ -h ôa? h- c, en appliquant à cette relation le procédé géométrique qui a servi à la représentation graphique de Téquation du premier degré à deux inconnues (80). On obtient ainsi {fig. 7) une courbe qui présente deux branches infinies, lesquelles sont,

TRINQUE DU SECOND DEfiRË

d'après la remarque (93), symétriques par rapport à une droite AC parallèle à YY' et passant par le point B dont l'abscisse 4ac— ft'

est -

et l'ordonnée

la plus petite valeur de y.

Pour cette raison la droite AC est dite l'axe de symétrie de la courbe; le point B en est le sommet. La géométrie nous apprend que cette courbe est une parabole.

Fig. 9.

Lorsque a est positir, les branches de la courbe sont dirigées dans le sens OY. De plus, si b* — iac est supérieur à zéro, cette courbe rencontre l'axe des abscisses en deux points F et F" (fig. 7) ; si b^ — 4ac est égal & zéro, elle est tangente à cet axe {fig. 8), et si b* — iac est inférieur à zéro, elle ne rencontre pas l'axe {fig. 9).

Lorsque a est négatif, les branches de la courbe aontdirigées dans le sens OY', et, comme précédemment, cette courbe rencontre l'axe des abscisses en deux points, lui est tangente ou ne le rencontre pas, selon que &' — 4ac est supérieur, égal on inférieur à zéro.

RnuBQUB. — On peut se servir de la courbe représentative des variations du trinôme du second degré, lorsqu'elle est construite avec exactitude, pour trouver graphiquement soit les racines de l'équation ax* -\- bx -\- c = Q, soit les valeurs de x qui correspondent k une valeur donnée du trinôme.

La courbe étant tracée {fig. 7} par exemple, on résout le premier problème en évaluant les abscisses OF et OF' des points dont l'ordonnée est nulle. La solution du second s'obtient

en portant sur Taxe des ordonnées, dans le sensOY ou dans le sens contraire, suivant qu'elle est positive ou négative, la valeur donnée OG du trinôme [fig. 9), en menant par le point G une parallèle HI à X'X et en évaluant ensuite les abscisses OJ et OK des points H et I.

§ III. — Résolution des inéquations du seoond degré

à une inconnue.

94. Toute inéquation du second degré à une inconnue peut être mise sous l'une des deux formes ax*-+- 6a? h- c>0 et ax* -H fto? -h c < 0, dans lesquelles a est différent de zéro ; mais comme la seconde inéquation peut prendre la forme de la première par un changement de signe dans chacun des termes (57), nous nous bornerons'à examiner le premier cas.

D'après l'étude qui vient d'ôtre faite du trinôme du second degré, lorsque a est positif l'inéquation est satisfaite, si 6* — 4ac est supérieur à zéro, pour toutes les valeurs de x prises en dehors des racines du trinôme ; si b^ — kac est inférieur à zéro, pour toutes les valeurs de a?, sans exception, et si 6' — kac est égal à zéro, pour toutes les valeurs de x, sauf pour celle qui annule le trinôme.

Lorsque a est négatif, l'inéquation est satisfaite, si b^ — Aac est supérieur à zéro, pour toutes les valeurs de x comprises entre les racines; si b^ — kac est égal ou inférieur à zéro, l'inéquation n'a pas de solution.