Système de deux inéquations simultanées à une tnconnae

— Que les deux inéquations soient l'une du premier degré et l'autre du second degré ou toutes deux du second degré, les solutions du système sont évidemment les solutions communes aux deux inéquations considérées.

I. Soit d'abord le système de deux inéquations simultanées à une inconnue

(1) aa?*-+-6ar-i-c>0,

(2) a,x -H éi > 0,

Tune d'elles étant du second degré, l'autre du premier.

!• ô* — 4flc>0. Si a est positif, rinéqaation (1) est satisfaite pour toutes les valeurs de x prises en dehors des racines du trinôme^ et si a est négatif, elle est satisfaite pour toutes les valeurs de x comprises entre les deux racines. D'un autre côté; les solutions de Tinéquation (2) sont tous les nombres plus

grands ou plus petits que selon que ai est positif ou

négatif (67). Poor avoir les solutions communes, il n'y a plus qu'à ranger par ordre de grandeur croissante les racines a/ et x"

de rinéquation (1), et la racine de l'inéquation (2),

puis de chercher quels sont les iAtervalles dans lesquels les valeurs attribuées à x satisfont aux deux inéquations proposées. Ces intervalles comprennent tous les nombres dont Tensemble forme les solutions du système proposé.

2*^ b^ — 4ae = 0. Si a est positif, Tinéquation (i) est satisfaite pour toutes les valeurs de x, sauf pour la valeur

— -2— qui annule le trinôme ; il s'ensuit que les solutions du

système sont celles de IMnéquation (2), à Texception de la racine double du trinôme si elle est comprise dans ces dernières solutions. Si a est négatif, l'inéquation (i) n'est satisfaite pour aucune valeur de x ; il s'ensuit que le système n'a pas de solution.

3» b* — 4ac<0. Si a est positif, l'inéquation (1) est satisfaite pour toutes les valeurs de x de — oo à -^oo ; il s'ensuit que le système a pour solutions celles de l'inéquation (2). Si a est négatif, Tinéqualion (1) n'est satisfaite pour aucune valeur de a; ; il s'ensuit que le système n'a pas de solution.

II. Soit maintenant le système de deux inéquations simultanées du second degré à une inconnue

(i) aar^ H- 6a? -h c > 0,

(2) atx^ -h ^i^ -h Cl > 0.

!• Les deux discriminants 6* — Aac et b^ — 4aiC, sont ^un et Vautre plus grands que zéro, La résolution des deux

inéquations donne pour chacune d'elles des racines réelles et distinctes^ a/ et x" pour la première, x\ et a?'/ pour la seconde. Ces quatre valeurs rangées par ordre de grandeur croissante déterminent des intervalles parmi lesquels on cherche ceux dans lesquels les valeurs attribuées à x satisfont aux deux inéquations. Ces intervalles comprennent tous les nombres dont l'ensemble constitue les solutions du système proposé.

2° Vun des discriminants^ 6* — 4ac par exemple, est plus petit que zéro. Si a est positif, l'inéquation (1) est satisfaite pour toutes les valeurs de a: de — oo à -H <» ; il s'ensuit que le système a pour solutions celles de Tinéquation (2). Si a est négatif, Tinéquation (1) n^est satisfaite pour aucune valeur de x ; il s'ensuit que le système n'a pas de solution.

On arriverait à des conclusions analogues si c'était le dis^ criminant b^ — AaiCi qui fût plus petit que zéro.

3° L'un des discriminants, 6* — Aac par exemple^ est nul.

Si a est positif, l'inéquation (1) est satisfaite pour toutes les

b valeurs de x, sauf pour la valeur — ^- qui annule le tri-

za

nome ; il s'ensuit que les solutions du système sont celles de l'inéquation (2), à l'exception de la racine double du trinôme précédent, si elle est comprise dans ces dernières solutions. Si a est négatif, l'inéquation (1) n'est satisfaite pour aucune valeur de x; il s'ensuit que le système n'a pas de solution.

96. Inéquation de la forme A X B >> 0. — Lorsqu'une inéquation se présente sous la forme A x B > 0 et que A et B sont des polynômes entiers dont Tun au moins est du second degré par rapport à une inconnue x, cette inéquation est équivalente à Tensemble des deux systèmes d'inéquations simultanées à une inconnue

A>0, B>0, et A<0, B<0. (57)

Aussi pour la résoudre, suffît-il de trouver, comme nous venons de le voir, les solutions de chacun de ces deux systèmes.

Cependant, il est parfois plus avantageux de déterminer di-

rectement le signe du premier membre de rinéquation, mis, suivant le cas, sous la forme d'un produit de trois ou de quatre facteurs du premier degré, lorsqu'on fait croître a? de — oo à + 00 . Parmi les intervalles que déterminent les racines rangées par ordre de grandeur croissante des deux équations A = 0 et B = 0, ceux qui satisfont à l'inéquation proposée comprennent tous les nombres dont l'ensemble constitue les solutions de cette inéquation.