Inéquation de la forme -^ '!> 0, — On sait que lors
qu'une inéquation se présente sous cette forme et que A et B sont des polynômes entiers dont Tun au moins est du second degré par rapport à une inconnue x, cette inéquation est aussi, comme la précédente, équivalente à Tensemble des deux systèmes d'inéquations simultanées à une inconnue
A > 0, B > 0, et A < 0, B < 0 ; (57)
d'où il suit que pour la résoudre, il suffit de trouver les solutions de chacun de ces deux systèmes.
En général, il est plus avantageux de déterminer difectement le signe du premier membre de l'inéquation, dans lequel on a décomposé numérateur et dénominateur en produits de facteurs du premier degré, lorsqu'on fait croître x de — ce à + ao . En rangeant ensuite par ordre de grandeur les valeurs qui annulent ces différents facteurs du premier degré, c'est-à-dire les racines des deux équations A = 0 et B = 0, on détermine des intervalles parmi lesquels on cherche ceux où les valeurs attribuées à x satisfont à l'inéquation proposée : ces intervalles comprennent tous les nombres dont l'ensemble forme les solutions de cette inéquation.
98. Équation du second degré et inéquations. — Lorsqu'on a à résoudre un système formé d'une équation du second degré et d'inéquations dont on sait trouver les solutions, les solutions de l'équation qui satisfont à la fois à toutes les inéquations proposées sont celles du système.
Si l'équation a ses racines imaginaires ou si les inéquations
données n'ont pas de solution commune, le système n'a pas de solution.
Si Téquation a ses racines réelles et si les inéquations ont des solutions communes, toute racine de Téquation comprise dans les limites des solutions communes des inéquations est une solution du système.
§ IV. — Réflolutlon de réqaation bioarrée.
99. Il est des équations à une inconnue, d*un degré supérieur au second, dont on peut ramener la résolution, par des artifices de calcul, à celle de l'équation du second degré. Tel est le cas de Véquation bicarrée.
On appelle ainsi une équation à une inconnue, du quatrième degré, qui ne contient que des termes de degré pair de Tinconnue, c'est-à-dire du quatrième et du second degré, et des termes tout connus. Une équation de cet ordre, par la transposition de tous les termes dans le premier membre, suivie d'une réduction des termes semblables, peut toujours être ramenée à la forme équivalente
(1) ax^-hbx^ + c = 0.
On conçoit que si Ton regarde, dans cette équation, comme inconnue auxiliaire, le carré or* de Tinconnue envisagée, cette équation s'abaisse au second degré. En posant x* = y, on est donc amené à résoudre Téquation du second degré à une inconnue, qu*on appelle la résolvante de Téquation (i),
(2) ay»-H6y-+-c = 0;
et si tj' et y" en sont les deux racines, on obtiendra celles de Téquation (1) des relations
Xi = dz^Ty' et Xi=:± v/y ,
ce qui montre que ces racines sont au nombre de quatre, égales en valeur absolue et de signes contraires deux à deux.
La nature de chacune de ces racines se déduit de la formule générale qui les donne. Gomme les racines de l'équation (2) sont
ÉQUATION BICARRÉE 445
représentées par Texpression double y = ^==^ — ^^^ — ,
obtenue en partant de Thypothèse a 7^0, les racines de réquation (1) le seront par. la suivante :
(3) x = dzv/ ^
dans laquelle on combine, des quatre manières possibles, le double signe qui précède le radical supérieur avec le double signe du radical inférieur, pour avoir leç quatre racines.
11 est évident que la première condition pour que les valeurs de X soient réelles est que celles de y le soient. Ajoutons toutefois que cette condition serait insuffisante et qu'il faut encore que ces dernières valeurs soient positives. En d'autres termes, la réalité des racines de Téquation (I) dépend d'abord du signe de la quantité b* — 4ac, puis de celui de chacune des
deux autres quantités ac et -f De là trois cas principaux,
que nous allons successivement examiner.
I. 6* — 4ac>>0. Les deux racines de Téquation (2) sont réelles et distinctes, mais elles peuvent être Tune et l'autre positives ou négatives, ou bien Tune positive et l'autre négative.
!• Si Ton a flc>0, le radical inférieur a une valeur absolue moindre que celle de b; les deux racines de l'équation (2)
sont donc du signe de — -- • Il s'ensuit que si est
positif, les deux racines de Téquation (2) sont positives et inégales, et les quatre racines de Téquation (1) sont réelles, deux à deux égales en valeur absolue et de signes contraires ;
si au contraire est négatif, les deux racines de l'équa-
tion (2) sont négatives et les quatre racines de l'équation (i) sont imaginaires.
2® Si l'on a r/c<<0, le radical inférieur a une valeur absolue plus grande que celle de b ; les deux racines de réquation (2) sont donc l'une positive et l'autre négative. Il s'ensuit que l'équation (i ) a deux racines réelles, égales en
valeur absolue et de signes contraires, et deux racines imaginaires.
II. b^ — Aac = 0. Les deux racines de Véquation (2) sont réelles et égales^ mais elles peuvent être positives ou négatives.
i° Si Ton a > 0, ces racines sont positives, et les
quatre racines de Téquation (i) sont réelles, égales en valeur
absolue, deux sont positives et les deux autres sont négatives.
à 2* Si Ton a <;0, les racines de Téquation (2) sont
négatives, et les quatre racines de l'équation (i) sont imaginaires.
III. 6* — Aac < 0. Les deux racines de Téquation (2) sont imaginaires. Ces racines peuvent être mises sous la forme a di v^ — p^ , ou, en faisant sortir P' du radical, « ± ? V^ — 1 , et comme Ton convient d'appeler racine carrée d'une quantité imaginaire a di Pv^ — i , une autre quantité imaginaire de la même forme ol' ± pV — i , dont le carré reproduise la première, on dit encore, lorsque les racines de l'équation (2) sont imaginaires, que celles de Téquation (i) le sont aussi.
100. Cas particuliers. — La résolution de Téquation bicarrée ax^ -h bx^-^-c = 0 repose, comme celle de l'équation du second degré ay^ -^ by -\- c = 0^ sur la seule hypothèse a 9zf: 0. 11 peut arriver que l'un ou plusieurs des coefficients de l'équation envisagée deviennent nuls.
i^ a et à sont différents de zéro et c est nul. L'équation (i) se réduit à
(4) aj?*-4-ftar»= 0,
et la formule (3) donne
— bztb
c'est-à-dire deux racines nulles et deux racines réelles ou imaginaires suivant que Von a positif ou négatif.
Ce résultat peut être obtenu en résolvant directement l'équation (4). Pour cela on remarque, en la mettant sous la forme
ÉQUATION BICARRÉE 447
ar«(aar« -h- 6) = 0, qu'elle peut se décomposer (63) en deux équations du second degré, dont l'ensemble forme un système qui lui est équivalent,
a?* = 0, aa?* + 6=0,
lesquelles donnent les racines précédemment trouvées.
2* a et c sont différents de zéro et b est nui. L'équation (i) se réduit à
(5) 00?* -f- c = 0, j et la formule (3) donne
I c'est-à-dire quatre racines imaginaires si est négatif,
et deux racines réelles avec deux racines imaginaires si
\ est positif.
; On obtiendrait le môme résultat en résolvant directement Téquation (5).
3* a est différent de léro^ b et c sont nuls. L'équation (1) se réduit à
(6) aar* = 0,
etla formule (3) donne quatre racines nulles. Ce résultat, évident d'ailleurs, se déduit directement de l'équation (6).
iM. Remarque. — Les racines de l'équation bicarrée complète se présentent sous la forme y A zti / B , qui contient deux radicaux superposés et qui donne lieu, pour cela, lorsque B est positif et n'est pas un carré parfait — ce qui arrive généralement — à des difficultés de calcul ainsi que d'appréciation dans le degré d'approximation des résultats. Aussi a-t-on cherché à transformer les expressions de ce genre en d'autres équivalentes qui soient la somme ou la différence de deux radicaux du second degré.
On démontre, à cet effet, que lorsque A et B sont deux nombres rationnels et positifs et que A* — B est un carré, cette transformation est toujours possible et qu'elle ne l'est
pas si ces conditions ne sont pas remplies. C'est ce que traduit la relation suivante, qui exprime le résultat de la transformation :
§ V. — Trinôme bicarré.
102. On appelle trinôme bicarré un polynôme entier en x de la forme ax^ •+• bx^ + c^ dans lequel on considère a, A et c comme des nombres donnés qui restent constants et x comme un nombre essentiellement variable qui peut prendre toutes les valeurs possibles depuis — oo jusqu'à h- oo . On convient d'appeler racines de ce trinôme les racines de Téquation obtenue en égalant le trinôme à zéro.
103. Decomposilion da trinôme en un prodalt de' factaurt du second degré. — Tout trinôme bicarré dont les coefficients sont réels peut toujours être décomposé en un produit de deux facteurs réels du second degré ; bien plus, la question peut comporter jusqu'à trois solutions.
Nous n'entrerons pas dans les détails de la résolution générale de ce problème, qui nous paraît sortir du cadre que nous nous sommes tracé, mais nous dirons qu'elle consiste dans la recherche des valeurs réelles qu'on peut attribuer aux lettres m, w, w' et n' pour que le second membre de la relation
flx* -h ôx* ^- c = a(x* -+- mx -4- n)(x' -\- m'x -4- n')
soit identiquement égal au premier.
En général, quand on veut simplement obtenir une décomposition en facteurs réels du second degré, quels qu'ils soient, parce qu'on a besoin de cette transformation du trinôme, on procède ainsi qu'il suit :
1° Si b^ — kac est positif, on considère le trinôme bicarré comme un trinôme du second degré dont l'inconnue est x*, et comme ce trinôme a ses deux racines réelles et distinctes, on a (87) la décomposition suivante :
TRINOME BICARRÉ 449
2* Si h^ — kac est négatifs on considère, dans le trinôme
ar* H x*-\ ) » les termes
1^ et -- comme les termes extrêmes du développement
ordonné du carré du binôme a?' h- v/— • En ajoutant et en
retranchant dans la parenthèse le double produit 2j?'\/— des deux termes de ce binoine, le trinôme bicarré peut s'écrire
Or de ô* — Aad<0, on déduit 2 v/— >— î il s'ensuit
Va a
que la quantité 2 y/ est positive et, par suite, que
1 expression entre crochets peutôtre regardée comme une différence de deux carrés décomposable de la manière suivante en deux facteurs réels du second degré :
o° SV 6*— -4ac est nul^ le trinôme est le carré multiplié
par a du binôme x* -h —, la décomposition est immédiate
el donne
a,r* 4- bx'^ H- c = al x'^ -h — - | •
Rbmaroue. — On trouve dans cette propriété du trinôme bicarré un moyen de résoudre Téquation bicarrée. Pour cela, on décompose le premier membre de cette équation en un produit de deux facteurs du second degré et Ton résout ensuite les deux équations obtenues en égalant respectivement à zéro chacun de ces facteurs.
I OACUT. — MKTHODOL. 29
ioO ALGÈBRE THÉOftlQrE
104. Variations du trinôme. — Comme pour Tétude des variations du trinôme du second degré, il est nécessaire de démontrer préalablement que lorsque dans le trinôme bicam' on fait varier x d'une manière continue de — » à -+-», la valeur du trinôme varie d'une manière continue. Mais comme cette démonstration est analogue à celle que nous avons faite de cette môme propriété pour le trinôme du second degré, nous ne nous y arrêterons pas.
Pour étudier ensuite le sens des variations du trinôme bicarré quand x crott de — oo à -f- oo , nous mettrons ce trinôme sous la forme
et nous considérerons successivement les deux cas qui se présentent suivant que l'on a a > 0 ou a <; 0.
I. a > 0. — Le trinôme, ou ?/, étant le produit du nombre fixe a et de la somme de deux quantités, Tune constante
— - — et 1 autre variable x* 4- --— ) » pour en suivre
les variations, il suffît de voir comment varie cette dernière quantité. Or, comme le signe de ar^-h-^ dépend de celui
de -— » nous subdiviserons la première partie de cette étude
en deux autres cas.
i** Si -—- est positif, en faisant croître a: de — oo à 0, 2a
X* -h —— décroît de -h 00 à — — ^ et ( x^-\- — — ) de -n- « 2a :2a \ 2a /
b^ à - *» il s'ensuit que le trinôme décroît de -h « à c. Si x 4a^
croît ensuite de 0 à -hoo, x^ -h tt— croît de -r— à +x,
et x^ -h — — I de — r- à -h X ; il s'ensuit que le trinôme \ 2a/ 4a-2 ^
croit de c à -t- x .
Cette discussion se résume ainsi qu'il suit :
— X croît 0 croît ~+- x
-h X décroît c croît -h»
TRINOME BICARRÉ 451
n est à remarquer que la' valeur c, à partir de laquelle y cesse de décroître pour varier en sens contraire, est la valeur minima du trinôme et que cette valeur est atteinte pour a? = 0. Il s'ensuit que le trinôme dans l'ensemble de ses variations passe deux fois par toute valeur exclusivement comprise entre c et -4-», et ce pour deux valeurs de x égales en valeur absolue et de signes contraires. De plus, si c est négatif, le trinôme s'annule deux fois pour deux valeurs de x égales et de signes contraires; si c est nul, le trinôme s*annule mais une seule fois pour or = 0 ; enfin, si c est positif, le trinôme reste toujours positif et ne s'annule pas.
^ Si ^ est négatif ^ ^'~^~^ est positif OU négatif selon que X est en dehors ou en dedans de Tintervalle compris
entre — v/ — -rr- et H-v/— -s— • En faisant croître x de ^ • 2rt V 2a
— X à — v — -—- » a?* -h---- décroit ainsi que son carré
I j^-h— j de -+- « à 0; il s'ensuit que le trinôme décroît
de 4-00 à Si x croît ensuite de — v/
à 0, X* -h -—- décroît de 0 à — ^i et son carré (x^-^ -—] 2a ta \ ta J
croît de 0 à -r-r > il s'ensuit que le trinôme croît de
à c. Si x continue de croître de 0 à -l-v/ — . .
y ta ta
croît de -— à 0, et son carré (x^-\ ) décroît de
2a \ ta ) Aa
Aac b^
àO; il s'ensuit que le trinôme décroît de r à Enfin,
si X croît de h- y — ^ à -+- » , x' -\- — croît ainsi que
son carré (x^ -h —j de 0 à -h x ; il s'ensuit que le tri-
4ac — b^
nome croît de ; à h- x .
Celte discussion se résume ainsi qu'il suit :
— Qo croît — v/— — croit 0 croît -^\/ — Y~ ^^^^^ "^*' y -+- oo décroit — '-, croît c décroit croît -+ œ
Remarquons ici que la valeur au-dessous de
laquelle ne descend pas le trinôme est un minimum qu*il atteint deux fois pour deux valeurs de x égales et de signes contraires
- ; que la valeur c que ne dépasse
pas le trinôme entre ses deux maxima est un maximum par rapport aux valeurs qui précèdent et qui suivent immédiatement et que Ton appelle pour celte raison maximum relatif. Il s'ensuit que le trinôme dans Tensemble de ses variations passe deux fois par toute valeur exclusivement comprise entre c et -h oo , pour deux valeurs de x égales en valeur absolue et de signes contraires ; qu'il passe quatre fois par
toute valeur exclusivement comprise entre et r,
pour quatre valeurs de x deux à deux égales en valeur absolue et de signes contraires, et qu'il passe trois fois par la valeur c pour trois valeurs de a?, Tune égale à zéro, les deux autres de
signes contraires et égales en valeur absolue à y
4ar — ^2
De plus, si Ton a <C 0 en même temps que
An
c > 0, le trinôme s'annule quatre fois, pour quatre valeurs de X deux à deux égales en valeur absolue et de signes contraires; si l'on a < 0 en môme temps que c = 0,
le trinôme s'annule trois fois, pour deux valeurs de x égales
en valeur absolue et de signes contraires et pour x = 0 ; si
Aac — b-
Ton a •< 0 en même temps que c < 0, le
trinôme s'annule deux fois, pour deux valeurs de x égales en
valeur absolue et de signes contraires; si l'on a = 0,
le trinôme s'annule deux fois. pour lesdeux valeurs de x égales
