ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES
Si Ton a B* — 4AC = 0, Téquation (3) aura ses racines réelles et égales et le système (i) n'admettra qu'une solution.
Enfin, si Ton a B* — 4AC < 0, les racines de Téqualion (3) seront imaginaires et le système proposé n'admettra ànssi que des solutions imaginaires.
^ m. — Résolution d'un système de deux équations simultanées du second degré à deux inconnues.
i08. Soit le système
( or* -h bxy -+- ci/' -h rfa? -h ey -+-/*= 0, ^ * ^ ( a'x* -+- (/xij -h c'y* -f- d'x 4- e'y -+-/*'= 0.
En multipliant les deux membres de la première équation par le coefficient d de y' pris dans la seconde, et les deux membres de la seconde par le coefficient c de la même inconnue pris dans la première équation, si Ton retranche ensuite membre à membre les deux équations résultantes, on élimine y* entre les deux équations proposées et Ton obtient une nouvelle équation du premier degré en y,
(2) {ad — ca')x^ -f- (ôc' — cb')xy -h (dC — cd')x
•4- (ec' - ce^y h- fc' — cf = 0, qui, jointe à Tune de celles du système proposé, forme un nouveau système équivalent au premier.
Si de cette équation (2), que nous mettrons sous la forme
plus simple
gx* H- hxy -+- jx -f- A^y -h / = 0,
on tire la valeur de y en fonction de or,
/ON ,, - gx*-^jx-^l
(^^ y- hx^k '
pour la porter dans Tune des équations (1), la première par exemple, on obtiendra Téquation
'gx^-^jx-hlV
dx
hx
jx-^V
- f^SÏ-' - f= »■
qui formera avec Téquation (3) un autre système équivalent encore au système proposé.
Mais cette dernière équation, mise sous la forme entière en en multipliant les deux membres par la quantité {hx + ky, donne généralement une équation complète du quatrième degré de la forme
Aar* H- Bar» -+- Cx« 4- Dar -+- E = 0.
On ne sait résoudre cette équation que dans quelques cas particuliers.
Lorsque cette résolution pourra être effectuée, on aura quatre valeurs pour x^ auxquelles correspondront quatre valeurs pour y données par Téquation (3), ce qui constituera quatre solutions pour le système donné.
Remarque. — Si la résolution d'un système quelconque de deux équations du second degré à deux inconnues présente généralement des impossibilités vis-à-vis des procédés de r Algèbre élémentaire, par contre un assez grand nombre de systèmes particuliers peuvent être résolus, même très simplement, par quelques artifices de calcul tirés pour la plupart des propriétés deTéquation du second degré.
