CHAPITRE YIII

§ I. — Progressions arithmétiques.

109. Définitions. — Une suite de nombres tels que chacun I d'eux est égal au précédent plus ou moins un nombre constant est ce qu'on appelle une progression arithmétique. Les divers nombres de cette suite sont les termes de la progression, elle nombre constant qui s'ajoute à chaque terme ou s'en retranche pour former le suivant s'appelle la raison de la pro- I pression.

Suivant que la raison est additive ou soustractive, les termes de la progression vont en augmentant ou en diminuant et Ton dit que la progression ^si croissante ou décroissante.

En considérant la raison comme positive dans le premier cas, et comme négative dans le second, on peut dire que dans toute progression arithmétique chaque terme est la somme algébrique du précédent et de la raison.

On écrit une progression arithmétique en en plaçant tous les

termes sur une même ligne horizontale dans leur ordre de

grandeur croissante ou décroissante, suivant le cas, et en les

séparant entre eux par un point ; devant le premier terme on

met le signe -r. Si les nombres a, 6, c, rf, e, /*,... forment, dans

cet ordre, une progression arithmétique, on exprime le fait

ainsi :

On conçoit que si cette progression est croissante, enTécrivant en sens inverse on aurait une progression décroissante, et réciproquement.

110. Propriétés. — Les progressions arithmétiques jouissent des importantes propriétés qui vont suivre.

I. Dans toute protjression arithmétique y un ternie quelconque est égal au premier plus autant de fois la raison quil y a de termes avant lui.

Cette proposition permet de trouver facilement des nombres, en quantité déterminée, tels que placés entre deux nombres donnés a et b, ils forment une progression arithmétique ayant respectivement pour premier et pour dernier terme ces nombres aei b. C'est ce qu'on appelle insérer entre deux nombres des moyens arithmétiques.

Il suffit en effet pour résoudre la question de calculer la raison de la progression à établir et de former ensuite de pro> che en proche, en partant de a^ les termes de cette progression. Si nous désignons par m le nombre des moyens arithmétiques à insérer, et par r la raison k chercher, le dernier terme b de la progression s'écrira, d'après le théorème

précédent,

6 == a -h (m-hl)r,

d'où l'on aura pour valeur de la raison de la progression à former

H. Si, dans une progression arithmétique^ on insère entre chaque ternie et le suivant un même nombre de moyens anthmi*tiques^ et si Von écrit ensuite^ les unes à la suite des autres^ les progressions ainsi formées, de manière que le premier terme de chacune d'elles soit le dernier de la précédente, on obtient dans V ensemble une seule progression arithmétique ,

m. Dans toute progression arithmétique croissante^ les teignes augmentent indéfiniment et peuvent devenir plus grands que toute quantité donnée,

IV. Dans toute progression arithmétique limitée, la somme de deux termes équidistants des extrêmes est constante et égale à la somme des extrêmes.

De cette proposition on déduit la suivante :

' V. Dans toute progression arithmétique limitée, la somme de [tous les termes est égale au produit de la demi-somme des deux \fTtrémes par le nombre des termes,

111. Remarque. — Si, dans une progression arithmétique limitée, on représente par a et / le premier et le dernier lerme^ par r la raison, par n le nombre des termes et par $ la somme de ces termes, le premier des théorèmes qui précèdent se traduit algébriquement :

et le dernier,

(rt-i-/)/i •^

On a ainsi deux relations entre cinq quantités, ^, /, r, n, 5, qui permettent de calculer deux quelconques d'entre elles connaissant les trois autres : de là dix problèmes différents que met en évidence la combinaison de ces cinq quantités deux à deux de toutes les manières possibles et que Ton peut résoudre au moyen de ces deux relations.

§ II. — Progressions géométriques.

112. Défioitions. — Une progression géométrique est une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent multiplié par un nombre constant appelé raison delà progression. Les divers nombres de cette suite sont les termes de la progression. Si la raison est supérieure à l'unité, les termes vont en augmentant et la progression est dite croissante; si, au contraire, la raison est inférieure à l'unité, les termes vont en diminuant et la progression est dite décroissante.

On écrit une progression géométrique en en plaçant tous les termes sur une même ligne horizontale, dans leur ordre de grandeur croissante ou décroissante, suivant le cas, et en les séparant entre eux par deux points disposés verticalement ; devant le premier terme on met le signe h* Si les nombres fl, //, c, (f, e /, ... forment, dans cet ordre, une progression

géométrique, on exprime le fait ainsi : ;

On conçoit que si cette progression est croissante, en récrivant en sens inverse on aurait une progression décroissante, et réciproquement.

113. Proppléiés. — Les progressions géométriques étant définies, voici leurs propriétés générales.

I. Dans toute progression géométrique^ un terme quelconque ^st égal au premier multiplié par une puissance de la raison dont l'exposant est égal au nombre de termes qui précèdent celui qw Von considère, •

Cette proposition permet de trouver des nombres, en quantité déterminée, tels que placés entre deux nombres donnés a et 6 ils forment une progression géométrique ayant respectivement pour premier et pour dernier terme ces nombres a et 6. C'est ce qu'on appelle insérer entre deux nombres des moyens géométriques.

Pour résoudre la question, il suffit de calculer la raison de la progression à établir et de former ensuite de proche en proche, en partant de a, les termes de cette progression. Si nous désignons par m le nombre des moyens géométriques à insérer et par q la raison à chercher, le dernier terme, ft, de la progression s'écrira, d'après le théorème précédent,

b = nq^'^K^ d'où l'on aura pour raison de la progression à forfner

II. 5ii, dans une progression géométrique^ on insère entre chaque terme et le suivant un même nombre de moyens géométriques, et si l'on écrit ensuite les unes à la suite des autres les progressons ainsi formées^ de manière que le premier tei^rne de chacune d'elles soit le dernier de la précédente, on obtient dans Venscmble une seule progression géométrique.

III, Dans toute progression géométrique croissante, les tenues

augmentent indéfiniment et peuvent devenir plus grands que toute quantité donnée quelque grande qu'elle soit.

Pour démontrer cette proposition, on établit d'abord que les puissances successives d'un nombre plus grand que l'unité croissent indéfiniment et deviennent plus grandes que toute quantité donnée.

IV. Dans toute progression géométrique décroissante^ les termes diminuent indéfiniment et peuvent devenir plus petits qur toute quantité donnée quelque petite qu'elle soit.

On démontre cette proposition en établissant d*abord que les puissances successives d'un nombre positif plus petit que ^unité décroissent indéfiniment et deviennent plus petites que toute quantité donnée.

V. Dans toute progression géométi^ique limitée^ le produit de deux termes équidistants des extrêmes est constant et égal au produit des extrêmes.

De cette proposition on déduit facilement la suivante :

VI. Dans toute progression géométrique limitée, le produit de tous les termes est égal à la racine carrée du produit des deux extrêmes élevé à une puissance dont l'exposant est le nombre des termes,

VII. Dans toute progression géométrique limitée, la somme de tous les termes s'obtient en multipliant le dernier terme par la raison, en retranchant de ce produit le premier terme et en divisant le résultat par Vexcès de la raison sur l'unité.

Si dans une progression géométrique limitée, on représente par o et / le premier terme et le dernier, par q la raison et par s la somme de tous les termes, le précédent théorème se traduit algébriquement

Si, d'autre part, on désigne par n le nombre des termes de la progression, le dernier terme, d'après le théorème I, a pour expression

Cette valeur de / substituée dans la relation (i) donne

De cette formule, établie dans Thypothèse d'un nombre déterminé de termes, en déduit la limite de la somme des termes d'une progression géométrique décroissante illimitée.

Pour cela, continuons un instant à supposer que n est fini, et comme la raison, dans le cas qui nous occupe, est plus petite que l'unité, pour rendre positifs les deux termes de la formule (3) mettons-la sous la forme

ou, en séparant les deux termes du numérateur,

On voit ainsi que la somme des termes d'une progression géométrique décroissante limitée à n termes se compose de deux

parties, l'une fixe » et Tautre variable avec»,

Dès lors, si Ton admet que n augmente, -; — - — diminue,

et S augmente et se rapproche de ; enfin, si n aug-

mente au delà de toute limite, ---=■ — descend au-dessous de

toute quantité assignable et S finit par différer d'aussi peu que

Ton veut de Cette quantité est ainsi la limite

vers laquelle tend la somme S quand n croît indéfiniment.

On trouve une intéressante application de cette limite dans

la recherche de la fraction ordinaire génératrice d'une fraction

décimale périodique.

114. Remarque. — Les relations (â) et (3) qui contiennent cinq quantités, a, /, 9, //, S, permettent de calculer deux quelconques de ces quantités connaissant les trois autres : de là dix problèmes différents que la combinaison de ces cinq quan-

tités deux à deux de toutes les manières possibles met en évidence, et que Ton peut résoudre au moyen de cçs deux relations. Parmi ces problèmes, il en est trois qui n*ont pour inconnues ni q ni n : ceux-là ne dépendent que du premier degré ; mais les autres sont plus didiciles ; quelques-uns veulent Taide des logarithmes, d'autres sortent du domaine de r Algèbre élémentaire.

l'Al'lAT. — 1IKTH0D)L. 34)