CHAPITRE IX

si I. — Définition des logarithmes.

115. Le rapprochement des formules relatives aux progressions géométriques de celles qui se rapportent aux progressions arithmétiques fait ressortir cette particularité remarquable que toute opération indiquée dans Tune des formules du premier groupe est remplacée dans sa correspondante du second par une opération de même espèce mais de degré inférieur, c'est-à-dire que les multiplications et les élévations aux puissances sont respectivement remplacées par des additions et desmultiplicationsy les divisions et les extractions de racines, par des soustractions et des divisions. L'idée des logarithmes est née de cette comparaison.

Si Ton considère deux progressions croissantes, Tune géométrique commençant par Tunité, l'autre arithmétique commençant par zéro,

— 4 • /> • ^* • fl"^ • />'* •

-f 0 . /■ . 2r . 3r nr, . . .,

chaque terme de la seconde est dit le logarithme du terme correspondant de la première et les deux progressions constituent ce qu'on appelle un système de logarithmes.

Cette définition, qui ne s'applique tout d'abord qu'aux seuls nombres qui composent la progression géométrique, peut s'étendre à beaucoup d'autres que l'on obtient en insérant un môme nombre de moyens géométriques dans chaque intervalle de deux termes consécutifs de la progression géométrique, et

ce même nombre de moyens arithmétiques dans chaque intervalle de deux termes consécutifs de la progression arithmétique .

Mais il est des nombres que cette opération n*introduira jamais dans la progression géométrique et auxquels il a fallu étendre, pour les besoins du calcul, la définition précédente.

A cet effet, on démontre d*abord : l*" qu'on peut insérer dans chaque interoalle de deux termes consécutifs de la progression géométrique un nombre de moyens géométriques assez grand pour (fue la raison de la nouvelle progression diffèred'aussipeuquon voudra de l'unité ;

4* qu'on peut rendre la raison de la nouvelle progression géométrique assez proche de Vunité pour que la différence de deux termes consécutifs de cette progression soit aussi petite qu'on voudra ;

3* qu'on peut insérer dans chaque intervalle de deux termes consécutifs de la progression aHthmétique un nombre de moyens arithmétiques assez grand pour que la raison de la nouvelle progression^ autrement dit que la différence de deux termes consécutifs de cette progression, soit aussi petite qu'on voudra.

Cela posé, tout nombre plus grapd que Tunité peut être considéré comme faisant partie, avec telle approximation qu'on voudra, de la progression géométrique, et Ton dit que son logarithme est la limite commune vers laquelle tendent les logarithmes des deux termes de la progression géométrique qui comprennent entre eux le nombre envis<'igé, lorsque ces deux termes viennent à différer Tun de l'autre d'une quantité plus petite que toute quantité assignable.

Réciproquement, tout nombre positif peut être considéré comme faisant partie, avec telle approximation qu'on voudra, de la progression arithmétique, et Ton dit qu'il est le logarithme de la limite commune vers laquelle tendent les termes de la progression géométrique dont les logarithmes comprennent entre eux le nombre envisagé, lorsque ces deux logarithmes viennent à différer Tun de l'autre d'une quantité plus petite que toute quantité assignable.

Tout ce qui précède s'applique exclusivement aux nombres plus grands que l'unité. Mais si Ton prolonge indéflniment vers la gauche les deux progressions qui forment le système de logarithmes que nous avons envisagé, on dit encore que les termes négatifs de la progression arithmétique sont les logarithmes des termes correspondants de la progression géométrique. Et si Ton insère dans chaque intervalle de deux termes consécutifs de Tune et l'autre progression le même nombre de moyens, et que Ton prenne ce nombre assez grand pour que la différence de deux termes consécutifs, dans chaque progression, soit plus petite que toute quantité assignable, oa pourra dire que tout nombre plus petit que Tunité a un logarithme, qui est négatif, et réciproquement, que tout nombre négatif est le logarithme d'un nombre qui est positif et plus petit que Tunité.

Enrésumé,toutnombrepositifaainsi unlogarithme positif ou négatif selon qu'il est plus grand ou plus petit qUe Tunité, et tout nombre est le logarithme d'un nombre plus grand ou plus petit que l'unité, selon qu'il est positif ou négatif. Les nombres négatifs ne pouvant trouver place dans la progression géométrique d'un système de logarithmes, n'ont pas de logarithmes.

;;; II. — Propriétés des logarithmes.

116. Les propriétés fondamentales des logarithmes sont les suivantes :

I. Le lofjariihme d\in produit de facteurs est égal à la sommf des logarithmes de ces facteurs.

II. Le logarithme d'une puissance d'un nombre est égal au produit du logarithme d** ce nombre par l'exposant de la puissance.

III. Le logarithme du quotient de daux nombres est égal à Vexcès du logarithme du dividende sur le logarithme du diviseur.

IV. Le logarithme d'une racine d'un nombre est égal du quotient du logarithme de ce nombre divisé par l'indice de la radw.

Il ressort de Tensemble de ces propositions que l'emploi des

logarithmes permet d'abaisser d*un degré les opérations sur les nombres, c*est-à-dire de substituer respectivement des additions et des multiplications aux multiplications et aux élévations aux puissances^ des soustractions et des divisions aux divisions et aux extractions de racines. De là la très grande utilité des tables de logarithmes.

§ m. — laogaritlimes vulgaires.

117. Il peut y avoir une infinité' de systèmes de logarithmes et chacun d*eux est défini par sa base. On appelle ainsi le nombre qui a pour logarithme l'unité.

Cette détermination d*un système par la donnée de la base se conçoit aisément, car on connaît alors deux termes de la progression géométrique et les deux termes correspondants de la progression arithmétique. Or ces conditions suffisent pour exprimer chacune des deux progressions; il s'ensuit donc bien que le système est défini .

Si Ton ne connaît d'un système de logarithmes que les deux progressions qui le constituent ou deux termes de Tune des progressions avec les deux termes correspondants de l'autre — ce qui suffît pour déterminer ces deux progressions — on peut trouver la base de ce système, en cherchant le nombre qui, compris ou introduit par une insertion de moyens géométriques, dans la première progression, a pour correspondant, dans la seconde, l'unité, qui s'y trouve comprise ou qu'on y a introduite par une insertion de moyens arithmétiques en nombre égal à celui des moyens géométriques précédents.

On définit aussi le logarithme d'un nombre dans un système donné, Vexposant de la puissance à laquelle il faut élever la base de ce système pour reproduire ce nombre.

Pour montrer que cette définition concorde avec la première, considérons les deux progressions suivantes qui déterminent un système de logarithmes:

H i : (1 -h a) : (i -h a)« : . . . : (1 -h a/' : . . . , -f 0 . r . 2r nr

470 ALdÈBHE THÉORIQUE

et soit nr le terme de la progression arithmétique qui est égal à l'unité ; le terme correspondant (i -+- a)», dans la progression géométrique, sera donc la base du système. Si Ton représente par a cette base, on pourra écrire a = (1 -4- a)», et comme on a nr = 1 ,

ou n = — »

la base aura pour expression

(1) a = (l^aV.

Soient maintenant un nombre quelconque, N = (l4-a)^ de la progression géométrique et x son logarithme ; on aura

X = pr,

ou p = — •

Il s'ensuit que Ton peut écrire N sous la forme suivante :

N = (l-ha)",

OU N = [(i-h«)^J ,

ou enfin, d'après (i), N = a"".

Ce qui justifie bien la définition ci-dessus considérée par rapport à la première.

Une expression de la forme a' est appelée une fonction exponentielle.

Dans les calculs ordinaires, on emploie généralement le système de logarithmes dont la base est 10. Ce système jouit des propriétés suivantes :

Seules les puissances de 10 ont des logarithmes commensurables, qui senties exposants de ces puissances.

Les logarithmes de tous les autres nombres sont incommensurables; évalués en nombres décimaux avec une certaine approximation, ils comprennent deux parties, Tune entière qu'on appelle la caractéristique du logarithme, et l'autre décimale qui est la mantisse.

Si Ton multiplie ou si l'on divise un nombre positif par une puissance de 10, on augmente ou l'on diminue son loga-

rithme d'autant d'anités quMl y en a dans Texposant de cette puissance ; en d'autres termes, dans une multiplication de ce genre, la partie décimale du logarithme ne change pas» la caractéristique seule est augmentée de l'exposant de la puissance de 10 multiplicatrice.

Les nombres plus grands que Tunité ont des logarithmes dont la caractéristique contient autant d'unités moins une que ces nombres ont de chiffres à leur partie entière.

Les nombres plus petits que l'unité ont tous des logarithmes négatifs. Dans la pratique, on remplace avec avantage ces logarithmes par d'autres dont la caractéristique seule est négative. Pour cela, on ajoute une unité à la partie décimale et Ton en retranche une à la caractéristique. Ainsi modifiée, la caractéristique négative du logarithme d'un nombre moindre que l'unité, exprimé en décimales, contient un nombre d'unités marqué par le rang, après la virgule, du premier chiffre significatif de ce nombre.

118. Tables de logarithmes. — On utilise ce remarquable instrument de calcul qu'on appelle les logarithmes, et dont toute la valeur ressort de la théorie précédente, en dressant des tables qui contiennent la suite naturelle des nombres entiers depuis 1 jusqu'à un nombre donné et, placés en regard, les logarithmes de ces nombres, évalués avec une approximation déterminée. Les procédés de calcul employés pour cela, beaucoup plus commodes et plus rapides que celui qui consiste dans des insertions de moyens, n'appartiennent pas à l'Algèbre élémentaire.

Les principales tables en usage contiennent généralement les logarithmes avec cinq décimales des 10000 premiers nombres entiers, ou les logarithmes avec sept décimales des 100000 ou 108000 premiers nombres entiers.

Pour s'en servir, il faut savoir résoudre le double problème qui suit :

Un nombre étant donné, trouver son logarithme^ et réciproquement, le logarithme d'un nombre étant donnée trouver ce nombre.

119. Calculs logarithmiques. — L'application des logarithmes à la résolution de certaines questions algébriques conduit à Taddition, la soustraction, la multiplication ou la division des logarithmes.

Pour additionner des logarithmes, on fait d'abord la somme des parties décimales, puis la somme algébrique des caractéristiques, à laquelle on ajoute, s'il y a lieu, la retenue provenant de la première addition.

Pour retrancher un logarithme, on ajoute un autre logarithme qu'on appelle le complément du premier, ou cologarithme, et qu'on obtient de la manière suivante : on forme sa caractéristique en augmentant d'une unité la caractéristique da logarithme à soustraire et en changeant le signe du résultat, et pour avoir la partie décimale, on retranche celle du logarithme donné de l'unité.

Pour multiplier un logarithme par un nombre entier, on multiplie la partie décimale, puis la caractéristique, et à ce dernier produit, positif ou négatif suivant le signe de la caractéristique, on ajoute la retenue du premier produit.

Pour diviser un logarithme par un nombre entier, on procède comme pour les divisions ordinaires si la caractéristique est positive. Si elle est négative, on la rend divisible parle nombre diviseur en lui ajoutant autant d'unités négatives qu'il est nécessaire, sauf à augmenter la partie décimale d'autant d'unités positives, puis on divise successivement la caractéristique et la partie décimale ainsi modifiées : les deux quotients expriment respectivement la caractéristique et la partie décimale du quotient cherché.