CHAPITRE I

120. Les vérités algébriques sont, en grand nombre, de même nature que les vérités arithmétiques : c'est une conséquence (le ce fait, déjà énoncé, que TAlgèbre est sortie de la généralisation de l'Arithmétique.

n en résulte que les méthodes et les procédés dont on se sert pour démontrer les vérités algébriques sont tout naturellement ceux que nous a fournis T Arithmétique, auxquels viennent se joindre les moyens plus puissants dus à l'Algèbre, et que Ton tire soit de la généralisation même des questions sur les nombres, soit de la théorie des équations, etc.

Dans ce qui va suivre, nous appliquerons donc à la démonstration de quelques théorèmes les procédés connus des transformations d'expressions, des transformations et des combinaisons d'égalités et d'inégalités ; nous montrerons comment on peut se servir des ressources que fournissent les principales théories algébriques, entre autres celle des quantités imaginaires, et nous donnerons à la suite quelques exemples de démonstrations parles trois méthodes générales : Tanalyse,^ la synthèse et la méthode de réduction à Tabsurde.

i^ I. — Transformations d'expressions. '

121. I. L'expression 3.5*"^* H- 2'"-^' est divisible par 17 quelle que soit la valeur attribuée à n.

On peut écrire successivement

L'expression est ainsi ramenée à la différence des deux termes 17.25» et 2(25» — 8») respectivement divisibles par 17 : le premier parce qu'il contient le facteur 17, et le second parce qu'il est divisible par (25 — 8) ou 17.

Nous avons donné précédemment(/l ri/Zim., 206)une démonstration arithmétique de cette proposition.

122. II. Le carré d'un polynôme est égal à la somme des carrés de tous ses tetmes augmentée de la somme des doubles produits de ces mêmes termes pris deux à deux de toutes les manières possibles.

Soit un polynôme a -^b-\-c -^ ,. . -\~L

Son carré (a -h 6 -i- c 4- . . . -h /)• contient deux sortes de termes, ceux qui résultent des produits de deux termes égaux des deux facteurs du carré, a% 6*, c*, etc., et ceux qui proviennent des produits de deux termes différents, ab, ac^ bc, etc. Des premiers, il y en a autant que de lettres dans le polynôme proposé ; des seconds, autant qu'on peut obtenir de combinaisons différentes avec, toutes les lettrés du polynôme en les prenant deux à deux ; mais il est à remarquer que chacun de ces derniers termes s'obtient de deux manières, comme le terme ab, par exemple, qui résulte du produit de a, pris dans Tun des facteurs du carré, par 6, pris dans l'autre, et vice versa. Le développement cherché se compose donc de la somme a^-^b^-\-c'^-\-,..-^l^ augmentée de la suivante: ^ab-^iac-^Uc, etc.

On a donc

-+■ 2a6 H- 2rtc -t- 2^c -+- . .. -+-ikl.

123. III. La condition nécessaire et suffisante pour que x"^ — r/"* soit divisible par x^ — a" est que m soit un multiple de n.

En effectnaDt la division --^ — on obtient pour quotient

le polynôme x'"~^ -h- aV""*** -h rt*»^"*""'" -+-...

Si p représente le nombre de fois que n est contenu dans m, on arrive nécessairement par Tapplication de la règle de la division algébrique à écrire au quotient le terme -h a^p-*)*»ar"*~'"*. Le reste suivant est -h «p^a:"*"?»» — a"\

On a ainsi

• = af"-'* -h a'^x^-^ -h ««"a?"»-^" -f- . . .