flfvp-l )na.m-|m j
Le reste aP"a;"*~'"*— o'" est nul ou ne Test pas.
S11 est nul, les deux termes aP^x^~^ ei^a"^ sont identiquement égaux, et il faut que Ton ait av^ = a'" et a:"*~P = i; or cette double relation est satisfaite par celte autre m = pn: la condition que m soit un multiple de n est donc suffisante.
Si le reste aP^xl^'^^'^ — a"» n'était pas nul, c'est-à-dire si 7/1 n'était pas égal à pn, on serait amené à écrire au quotient le terme -f- rtP'»a:»«-(H-i)nj dans lequel Texposant de x serait négatif, (p -+- i)n étant par hypothèse supérieur à m ; dès lors la division se continuerait indéûniment et l'expression x" — a*" ne serait pas divisible par x^— a^ : . la condition que m soit égal à pn, autrement dit qu'il soit un multiple de n est donc nécessaire.
124. IV. Lorsqu'on ajoute à une fraction quelconque cette même l^dction renversée^ on obtient une somme qui ne descend pas ûtt-(fes«OMs d'une certaine limite^ Pt cette limite est le nombre 2.
Soit la fraction — » dans laquelle a et 6 sont deux nombres
a positifs quelconques. En lui ajoutant la fraction y 9 on a
l'expression h y identiquement égale à cette autre :
ah
Si l'on retranche et si Ton ajoute au numérateur de cette dernière fraction l'expression 2a6, elle devient
^ ^ ab
ou -^ — r-^-f-2.
ab
Mais raisonner sur Tune ou sur Tautre de ces deux expressions c'est exactement la même chose.
11 s'agit donc d'étudier les variations de l'expression (i) par exemple, lorsque, supposant fixe le dénominateur a de la fraction proposée, on fait.passer b par toutes les valeurs possibles de 0 à 00 .
Si b est très petit et tend vers zéro, a — b tend vers a et ab vers zéro ; l'expression (1) devient donc très grande et tend vers rinfini.
Si b augmente, a -- b diminue et ab augmente : deux
raisons pour que r-^ diminue; il s'ensuit donc que
ab
l'expression (1) diminue.
Si b devient égal à a, le numérateur s'annule, le dénominateur prend la valeur a' et Texpression (i) se réduit au nombre 2.
Si b augmente encore et devient plus grand que a, l'expression (1) ne peut plus nous servir pour raisonner, il faut la
mettre sous la forme h 2 que l'on obtient en
(a — bf
divisant les deux termes de ^^ r-^ par b^.
ab
Nous voyons alors que si b devient plus grand que a,
*fT» ■* *"
( -T- ~ M augmente, -r- diminue : deux raisons pour
que la fraction augmente et par suite que Tex-
pression (1) augmente.
Enfin, lorsque b devient très; grand et tend vers l'infini,
a tend vers l'unité et -7- vers, zéro ; la fraction
tend donc vers l'infini et par suite l'expression (i)
tend aussi vers l'infini .
Les résultats de cette étude peuvent être consignés ainsi dans le tableau suivant :
b ab
0 croit -+- a croît -h » -+- » décroît H- 2 croît -+- 00
L'expression (1) a donc une limite inférieure et celte limite est le nombre 2. C. Q. F. D.
^'11. — Transformations et combinaisons d'égalités.
125. I. Si deux nombres a et b sont premiers entre eux^ on peut toujours en trouver deux autres m et n, entiers et désignes contraires^ tels que l'on ait
arn ■+- /yn = 1.
a étant supposé plus grand que 6 — ce que permet la symétrie de la relation donnée par rapport aux deux nombres a et 6— la recherche du plus grand commun diviseur de ces deux nombres, qui conduit à un reste égal à l'unité, donne lieu aux identités suivantes, dans lesquelles 71, 7^, 73, ..., </n représenteront les quotients successifs et ri, /o, r.!, ..., r„ les
restes successifs, le dernier étant égal à 1 :
On en déduit
r, = a — bqiy
r^ =z h-- r^q^ — —aq^-h 6(1 -h q^q^),
ra = r, - nq, = a(l -+- Ma) — f>[q, -+- (1 4- ^i?t)?3],
ce qui montre, sans aller plus loin, que tous les restes successifs se présentent sous la forme ûw -h 6/î, dans laquelle m et n sont entiers et de signes contraires.
Il en sera de même du dernier, et comme il est égal à l'unité, on pourra écrire
am-\-bn r= i, c. 0- F. D.
