II. Pour que la valeur numérique de la fraclion

ax^ -^ bx -^ c a'x- H- b'x -h e soit indépendante de Xy il faut et il suffit que l'on ait

abc

Soit m la valeur numérique constante que prend la fraction donnée pour toute valeur attribuée à .r. On pourra écrire successivement

ax^ H- bx -h c

ax* -hbx -hc = màx* -h vib'x -+- inc\ {a — ma')x^ H- (6 — 7nb')x -f- < — me = 0.

Or on démontre (142) qu'il faut pour qu'un polynôme entier en x soit égal à zéro, que chaque terme soit nul ; on aura donc

a=^ma ; b = mb' ; c = ïnc' ;

d'où Ton tire

La condition est donc nécessaire.

Elle est suffisante. En effet, si Ton remplace dans le numérateur de la fraction proposée les lettres a, 6 et c par leurs valeurs respectives ma\ mb' et mc\ cette fraction prend la

forme m -r-r z-, ?» dont la valeur est évidemment

constante et égale à 771.