m. La somme df*s m" puissances des racines de

l'équation

. ax^ -h 6jc 4- c = 0

est donnée par la formule

«S,n -h bSm - l -4- ('Sm -2 = 0,

dans laquelle S^ représente la somme de ces m*' puissances. En remplaçant Xy dans Téquation donnée, successivement

par chacune des racines a/ et xf de cette équation, on obtient

les deux identités (i) ax"^ H- 6a:' -h c = 0,

(2) ax'^-+-6x''-hc = 0.

En les ajoutant membre à membre, on a

o(.r'2 -f- x"^) H- h(x' -^ ar*) H- 2c = 0, ou

(3) aSî -h 6Si H- 2c = 0.

Si Ton multiplie les deux identités (1) et (2) respectivement par a/ et x" et qu'on les ajoute ensuite membre à membre ; pnis qu'on multiplie ces mêmes identités respectivement par x'* et x**, pour les ajouter encore membre à membre après celle opération, et que l'on continue ainsi jusqu'à ce qu'on les multiplie respectivement par .r'"'-* et x""'-^ afin d'ajouter encore membre à membre les identités résultantes, on aura la série suivante d'identités :

a(ar'* -f- or"*) -h b{x'' -^ x"'') h- c(a/^-f-x"^j = 0,

aix'"^ -h a:**") -f- 6(ar'"'-» -h x"'"-») h- c(x''«-« h- x'""-'^) = 0,

OU aSa -h 6Sa'-+- cS, = 0,

aS* H- 6Sa -4- cSa = 0,

(4) aSm H- ASw-i -4- cSm-2 = 0.

Cette formule, qu'on appelle une formule de récwrence, permet de calculer Sm lorsqu*on connaît S„i et Sm«2. On sait

■que S| = et Ton peut déduire Sî de la relation (3). Il

s'ensuit qu'on peut exprimer successivement Sa, S^, S;, ...

;;; III. — Transiormations et combinaisons d'inégalités.