I. L'équation du second degré

a ses deux racines réelles lorsque k et là sont de même signe.

En effectuant les multiplications indiquées, et en groupant les termes de même degré, cette équation peut se mettre sous la forme

Ca* H- I^A -h B — C(a -f- b)]x — (Aa -hBA — Ga6) = 0.

Pour que les racines de cette équation soient réelles, il faut que Ton ait

[A -i- B — C(a -h b)Y -h AC{ka -+- B6 — Cab) > 0,

ou, en effectuant les calculs et simplifiant,

(\) (A -h B)*4- C-(a - by H- 2(A — B)C(a — b) > 0.

Si A et B sont de même signe, A-t-B est égal en valeur absolue à la somme des valeurs absolues de chacun des deux nombres A et B; il s'ensuit que la valeur absolue de A-t-B ^st supérieure à celle de A — B. De sorte que la somme des deux premiers termes essentiellement positifs (A -h B)* et C-(a — bf de l'inégalité (1) est plus grande que le troisième 2( A — B)G(a — 6). On a toujours, en effet (135),