f- 7/2 >> ^7nn ; par conséquent

(A -t- B)* 4- G^a — by- > 2(A -+- B)C(ri — b)

et, à plus forte raison, en ne considérant que des valeurs

Absolues

D en résulte que le premier membre de Tioégalité (i) est

toujours positif quel que soit le signe commun de A et de B ,

et quel que soit, comme conséquence, celui de l'expression

2(A — B)C(a — 6} : les deux racines de Téquation proposée

sont donc réelles.

ni toujours positif, quel que soit a?, si a, 6, c sont les trois côtés d'un triangle.

Pour que le trinôme proposé, dont le coefûcientdu premier terme est positif, soit toujours positif quel que soit or, il faut et il suffit que ses racines soient imaginaires, c'est-à-dire que Ton ait

(1) (Ô2^c2 — a2)«— 4/>îc*<0, ce qui peut s'écrire

ou, si Ton admet que à soit plus grand que c (en admettant le contraire on arriverait au même résultat),

(2) [(b 4- cy — a'][{b - cf — a»] < 0.

Or, si a, b, c sont les trois côtés d'un triangle, on a les deux

inidentités suivantes :

et (,^c<a,

qui donnent respectivement

et {à - cy < a2,

d'où il suit que dans cette hypothèse le premier facteur du premier membre de Tinidentité (2) est positif et le second négatif; cette inidentité est donc satisfaite. Il s'ensuit que Hnidentité (1) Test aussi, par conséquent que les racines du Irinome proposé sont imaginaires et finalement que ce trinome est toujours positif, quel que soit x,

DATÏZAT. — HETHODOL. 31

§ IV. — Emploi des quantitéB Imaginaires.

130. La résolution de Téquation générale du second degré a conduit à dire, dans le cas où Ton a b* — Aac < 0, que l'équation admet des racines imaginaires représentées encore

n — 6 ±: ^ô* — 4ac . , . , ,

par 1 expression 1 » qui n est plus alors qu un

symbole. Ce symbole peut être mis sous la forme m±n • — i, et, si l'on représente ^ — i par t, sous la suivante, plus commode, m ± ni. Les deux racines imaginaires m -h ni et m — ni sont dites des expressions imaginaires conjuguées.

On sait d'autre part que l'on est convenu d'appliquer à ces expressions toutes les règles de calcul établies pour les quantités réelles, en admettant que le carré de ^ — 4 ou i est — 1.

Cela dit, les expressions imaginaires peuvent être parfois utilisées pour démontrer des vérités mathématiques. En voici des exemples dans la démonstration de deux théorèmes que nous établissons plus loin (138) par d'autres procédés.

131. I« Deux nombres qui sont chacun une somme de deux carrés ont pour produit une somme de deux carrés.

Soient deux nombres a-^ bi et c + di ; leur produit donne

[a -h bi){c H- di) ^ (ac — bd) -h (6c -h ad)i.

Soient deux autres nombres, les conjugués des premiers, a — bi et c — di ; leur produit donne

(a — bi)[c — di) ^ (ac — bd) — (bc -h ad)i.

En multipliant membre à membre ces deux identités, il

vient

(a» -4- 6*)(c« -+- d^) = (ac - bdf -h (bc ■+- ad)K

132. II. Deux nombres qui sont rhacun la somme de quatre eairés ont pour produit une somme de quatre cairés.

Le développement de Texpression facile à retenir (aô'— b(^

{cd — dd) donne, en écrivant tout d'abord les deux termes positifs puis les deux termes négatifs, l'identité suivante : {ab' — ba')(ca — de') = acb'd' H- bda'd — bcdd' — adb'c', qui devient, en ajoutant et en retranchant ensuite au second membre les deux expressions aca'c' et bdb'd\

(flft' bd){cd!— dd) = acb'd' -\- bdclç' — bca'd' — adb'c'

-+. aca!c -i- bdb'd' — aca!c' — bdb'd!

= ac{a'd H- b'dl) -h bd{a'c' -f- b'd')

^ ca\ac' -+- bd') — dV{ad + bd'), ou, enfin, (1) [ab' - ba!){cd' - dd) = {ac -+- bd){a'd h- b'd)

— (ca'4-rf6')K-hW).

Si Ton pose maintenant

a = m -Mit, é = p -t- gi, c = m' -h n'i, d = p' -hq'i,

a' = ^p-i-qi, b' = m — ni, d = — p' -h q'i^ d' = m' — n'i^

et si Ton substitue aux lettres deTidentité (1) les expressions imaginaires qui les représentent, cette identité deviendra

(m« 4. «« -H pi ^ q^){rn'^ ^ n'» -h p'* -+- 7'*)

= [(mm' — nn' -h pp' — qq') -h (mn' -4- w/n' 4- pç' -h qp')i]

X [{mm' — nn' h- pp' — 99') — [mn' -h ?im' -f- pq' -^ qp^^]

— [(mp' 4- nq' ~ pm' — çn') h- (m^' — np' — pn' h- gm')î]

X [ — [mp' 4- nqr' — pm' — qn') -\- {mq' — np' — pn'-^qmy], ou enfin

(m» H- n« -+-p« H- q^) (m'* 4- n" -hp'» -h 9'*)

= (7W?i' -h tim' -\- pq' H- yp')* H- (mm' — n /i' 4- pp' — qq')^

-h (7n(jr' — np' — pn'-^-qm')*

-+- [mp' -+- uq'-^pm' — qn')^ .

Remarque. — L'usage que nous faisons ici de lettres accentuées a pour but de faire retenir plus facilement la démonstration.

§ V. — Procédés divers.