p-^2)^piLilXP±iI

n(n + l (n-h2)...(n-hp— 1)=P -^ ^f^ LJ^-UL^2l,

et Ton pourra mettre le premier membre de la formule proposée sous la forme

ri+£±i I (y+*)(p-H2)

Il nous reste à interpréter Texpression contenue dans la parenthèse.

Pour cela, écrivons sur une ligne verticale un certain nombre de fois Tunilé ; puis, à droite, en commençant à la seconde ligne horizontale, Tunité et, au-dessous, successivement les nombres que Ton obtient en ajoutant au nombre précédemment écrit celui qui se trouve à sa gauche ; dans une troisième colonne verticale, inscrivons, à la troisième ligne horizontale^, Tunité et, au-dessous, successivement les nombres que Ton obtient en ajoutant au nombre précédemment écrit celui qui se trouve à sa gauche ; et ainsi de suite. On obtient de la sorte le tableau suivant auquel on donne le nom de

triangle arithmétique de Pascal:

Or, il est à remarquer qu6 les termes de la parenthèse (1) sont les n premiers nombres de la {p -+ i)* colonne verticale de ce tableau, ce qu'il est facile, du reste, de vérifier en donnant kp les valeurs successives 0, 1, 2, 3, etc. ; il en résulte, d'après la loi de formation précédente, que leur somme est égale au n« terme de la (p -f- 2)® colonne verticale, c'est-àdire à

(y + 2)(pH-3)...(n+p)

L'expression (1) devient alors, en y remplaçant P par sa

v&leur

ou, en multipliant par (p-hl) les deux termes delà fraction algébrique,