p(/?H-lXpH-2)(p-H3)...(n-f-p) 1.2...(n-l)(p + l

et, en supprimant au numérateur et au dénominateur de cette dernière expression le facteur commun 1 .2...(n — 1),

n{n -f- l)(n -f- 2) . . . (n -h p) p-hl

qui représente exactement le second membre de la formule proposée.

Rkiuroue. — Le triangle arit^imétique de Pascal donne dans

chacune de ses lignes horizontales les coefïïcients des termes du développement des puissances successives 0, 1,2, 3, etc., d*un binôme.

Autre démonstration. — Voici un autre procédé pour établir la précédente proposition.

Considérons le produit

des p-hi nombres consécutifs m, m-Hi, m-|-2, ..., wiH-p — i, m-hp.

On a identiquement

(1) =[w(m-hl)(m-+-2)...(m-hp — i)]x(p-f-i)

(m — l)m(m-hi). . (m-i-p — 1).

Si dans cette relation on fait m successivement égal à n, n — i, n — 2, . . . , 2, 1, on obtient les suivantes :

n( n-f-i)(n-i-2). . .(n-hp— 1 )(w-+-/?)

= [n(/i-hl)(n-f-2)...(n-hp— l)]x(p-Hl)-l-(n— l)n(n-+-i)...(«-hp-l)i

(n— l)n(n-|-i)...(n-hp— 2)(>î-i-p— 1)

= [(n— i)n(rn-l)...(n-+-p— 2)]x(p-^i)H-(n-2).(n-i)n...(H-hp-2),

(n— 2)(?ï— i)n...(n-^p— 3)(w-hp— 2)

= [(n-2)(7?-i)n...(n-+-p-3)]x(p-hi)-t-(w-3Xn~2)(n-l)...(n4-p-3),