p-hl)(pH
= [2.3.4...(p-hi)]X(p-i-l)-+-i.2.3...(p-+-i),
En additionnant ces n identités membre à membre et simplifiant, on a
M(n -i- l){rt H- 2)...(w -4- p — i)(n-i-p)
[2.3.4...(pH-i)]x(p-+-l) [1.2.3. ..p]x(p-hl), d'où, en divisant les deux noiembres par p -h 1,
n{n -4- i)(n H- 2).. .(n -Hp — i)(n h- p)
p4-i = i.2.3...p-h2.3.4...(p-i-l)H hn(n+i)(n-h2)...(n-hp— 1),
c'est-à-dire la formule à démontrer.
§ VI — Démonstrations analjrtiques.
135. 1. La somme des carrés de trois nombres inégaux est tou^ jours plus grande que la somme des produits de ces mêmes nombres pris deux à deux de toutes lés manières possibles.
Soient les trois nombres a^b^c; il s'agit de démontrer Imidentité
(1) a* -+- 6* -f- c^ > a6 -h ac -+- be.
Admettons, pour un instant^ qu*elle soit vraie.
Si Ton en multiplie les deux membres par 2, elle devient
(2) 2a« -h 26* -h 2c> > 2a6 -f- 2ac -+- 26c.
Sous cette forme, elle peut être considérée comme provenant de l'addition membre à membre des trois inidentités analogues
(3) \ a^-\-c^> iac,
La question revient donc à la suivante : Démontrer que la somme des carrés de deux nombres inégaux ^'ii plus grande que le double produit de ces nombres.
L'une de ces dernières inidentités, la première par exemple, peut s'écrire sous la forme
ou {a — by>0.
Les deux nombres a et 6 étant inégaux par hypothèse, cette dernière inidentité est évidente.
Il en est de même du groupe (3) ; par suite, en remontant, de rinidentité (2), et enfin de Téquivalente de cette dernière, Tinidentité (1). C. Q. F. D.
136. II. Le produit de quatre nombres entiers consécutifs augmenté de i est toujours un carré parfait.
Soit X le plus petit de ces quatre nombres ; leur produit
sera
ar(j:-f-l)(a:-f-2)(a:-+-3),
ou, en développant le calcul indiqué,
a:*-h6x'-|- lix»-i-6jr.
Il s'agit donc de prouver que le polynôme (1) a;* -4- 6ar3 ^ ^ 43.2 j. g^r -f- i
est un carré parfait.
S'il en est ainsi, ce polynôme entier réduit, qui comprend cinq termes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de X, et de la forme
X* H- Aa:' H- Bx* h- Cx -+- 1, ne peut être que le carré d'un trinôme de la forme x* -h ax -4- 1. En effet, le premier et le dernier terme du polynôme ordonné de la même manière, qui sera la racine carrée du polynôme proposé doivent être, d'après la théorie de la multiplication algébrique, les racines carrées respectives du premier et du dernier terme de ce polynôme, c'est-à-dire x* et 1 ; or un polynôme entier en x dont le terme le plus élevé est du second degré ne peut être, au plus, quand il est complet, qu'un trinome dont le second terme est du premier degré.
Cela posé, on a, en ordonnant le développement de la même manière que le trinôme,
(x* -\-ax-h iY = X* -^ 2ax» -h (a« -+- 2)x^ -|- 2ax -h 1.
Le second membre de cette identité donne lieu, entre autres, aux remarques suivantes :
i^ Les coefQcients du deuxième et de Tavant-demier terme du développement sont égaux entre eux et au double du coefficient du deuxième terme du trinôme ;
^ Le coefficient du troisième terme du développement est égal au carré du coefficient du deuxième terme du trinôme augmenté de 2.
La question est dès lors ramenée à la suivante : démontrer que Vexpression (1) satisfait aux conditions précédentes. Le coefficient du troisième terme, diminué de 2 donne 9; le deuxième et Tavant-dernier terme ont même coefficient 6; or la racine carrée de 9 et la moitié de 6 sont représentées par le même nombre 3 : il s^ensuit que le polynôme proposé est le carré du trinôme a?* -+- 3x -h 1 .
§ yil. — Démonstrations synthétiques.
137. I. La moyenne arithmétique d'un nombre quelconque n de quantités, qui ne sont pas toutes égales^est toujours plus grande que la racine n^ de leur produit (Théorème de Cauchy).
i*" Démontrons d'abord que le théorème est vrai pour n = 2, c'est-à-dire que Ton a, a et 6 étant deux quantités qui ne sont.
pas égales,
li) . -y— >^A.
On a identiquement
/ a-h b\^ / a — by
Qou
On pourrait encore faire cette démonstration en admettant l'existence de Tinidentité (i) et en élevant les deux membres au carré, pour faire passer ensuite dans le premier membre
de rinidentité résultante le terme du second membre : on aurait ainsi
ou, en simplifiant,
(a — by > 0.
Cette inidentité étant évidente, celle d'où Ton est parti est vraie.
2* Gela posé, on démontre comme il suit que le théorème est encore vrai pour n égal à une puissance quelconque de 2.
Si a, b, c, d sont quatre quantités qui ne sont pas toutes
égales, on a d'abord
a -H 6 c -h rf
puis successivement, d*après ce qui précède, •
2 ^ \Jab ^cct
J^^J^^)/^âb.^d ou ySî^,
-d ou > yabcd.
Si a, b, c, (]^, e, f, g, h sont huit quantités qui ne sont pas
toutes égales, on a d'abord
a-hb c-hd e'\-f g-hh
puis, successivement, d'après ce qui précède,
a-+-ô c-hd e-\- f g-\- h
2 2 Jâb yfcd ^ëf Jgh
^^Ç^)IE^M> i/^rb.^a.,^r. ^h,
ou yabcdefgh^
d'où a + à + c^d+e^f^g + h ^ ^-^-^^
En continuant ainsi, on démontrerait le théorème successif Temen! pour le cas où n serait égal à 16, 32,..., 2>".
3* Pour généraliser la démonstration, il ne reste donc plus qu'à établir que si le théorème est vrai pour n = p +1, il est aussi vrai pour n = p.
11 est à remarquer que nous allons prendre ici une méthode inverse de la méthode dite d'induction que Ton suit ordinairement pour la généralisation de certaines propriétés sur les nombres. On la doit à Gauchy, qui s'en est servi pour démontrer le présent théorème qui porte son nom.
Soient p -h 1 quantités, a, 6, c, rf, ..., k, /, Vaà..M, qui ne sont pas toutes égales.
On a, par hypothèse.
H- 6 -h h- l'\-i/ab...l p-i-i/—: — ,y/— ■ — ,
]> \/ao,..i^ab.,J ;
or, \J ab,.À\jab..À est identiquement égal à {/a^.../ ; Tinidentité précédente devient donc, par la substitution de cette dernière quantité à l'autre,
>> uao,.J,
p-hi
ou fl-hén h/> {p -f- iYjab...l — ^Jab...l,
a-hb H h/
ou enfin ■. > "Jab, ./.
Remarque. — 11 est évident que si toutes les quantités étaient
égales, les deux moyennes le seraient aussi.
138. II. Deux nombres qui sont chacun la somme de quatre carrés ont pour produit une somme de quatre carrés {^). Démontrons d'abord la proposition suivante : Veux nombres qui sont chacun la somme dr deux cairés ont pour produit une somme de deux carrés,
(') Proposition démontrée directement, plus haut, par l'emploi des quantités imaginaires.
Soient les deux nombres (a* -h 6») et (c*-i-rf*), qui sont chacun la somme de deux carrés.
On a identiquement
En rapprochant deux à deux les termes du second membre de cette relation qui ne contiennent que des lettres dilférentes, on forme les deux groupes a^c'^-^- 6*d* et 6*r* h- a*d«. Or il est facile de voir que dans chaque groupe le double produit des racines carrées des deux termes est le même, ^abcd. Si donc on ajoute ce double produit au premier groupe et qu'on le retranche au second, on pourra écrire
(a^ -+. é2)(c« -I- rf») = (fl«c«-f- îaôcrf -+■ bH^) -h (6*c« ^%ibcd + a*rf')
ou
(1) (a« -+- 6>)(c'2 H- d*) = {ac -h ^rf)* h- (ôc — ad)*.
Cette proposition préliminaire étant ainsi démontrée, soient les deux nombres (a'-i-6'H-c*-4-d*) et (e*-+-/^-t-^*H-/i*), qui sont chacun la somme de quatre carrés.
On a identiquement
(a« 4- 6* -f- c* -H d})[e^ ^ft^g^^ h")
= (a* -h 6«)(e* H-D H- (c» -f. d»)(f>« -h/') -^ (a* -^ b'){g^-^li*) + (c« -h d«)(j« -h /i»), ou, d'après la relation (1) précédente,
(2)- (a2-f-62 + c*-hd«)(^*-h/'*4-^^4-A=^) . = {ae -h ô/')2 -h {be — aff -h (ce -+- df^ + (de — c/"/ -h (a<7 -h 6A;> -+- (ô^ — a^)' -h (cr/ -^ dlif -h (dj — cA)*.
En rapprochant deux à deux les termes du second membre de cette relation qui ne contiennent que des lettres différentes, on formeles quatre groupes {ae-\-bff-^{cg-\-dh)*^ {be—aff ^{dg — chf, {c(^^df)^-^(ag-hbh)^ et {de--cf)^-\'{bg—ahf. Si Ton considère ensuite chaque groupe en particulier, on conçoit qu'en y ajoutant ou en y retranchant le double produit des racines carrées des deux termes, on forme le carré de la somme ou de la différence de ces mônr)es racines carrées. Or, en ajou-
tant au premier et au quatrième groupe le double produit correspondant, et en le retranchant du deuxième groupe et du troisième, on ajoute algébriquement au second membre de la relation (2) le tableau de termes suivant :
iaceg -h ^adeh -+- ^bcfg -+- ibdfh
— ^bdeg -h "ibceh h- iadfg — 2ac/l
— ^aceg — "iadfg — thceh — Udfh -h tbdeg — ibcfg — 2adcA -h ^acfh,
qni se réduit à zéro.
La relation (2) peut donc s'écrire
= [{ae H- bff -f- t{ae -h ft/')(c» -+- rf/i) -h (cj H- dA)*J
[[be — a/^)« — 2(Ae — af)[dg — cA) h- {dg — cA)«]
[(ce -+- df)^ — 2(ce -f. rf/^jla^ h- 6A) 4- (09 -f- 6A)«]
[{de^cff -f- 2((fc — c/JC/^i/ — aA) -+- (% — aA)«],
oa
(a* -f. ô» H c« -h rf*)(e* -4- r H- J* H- A»)
= (ae -h ô/*-i- «?(/ 4- rfA)* -h (6^ — a/" — dg -f- cA)'
-f- [ce -f- d/*— ar/ — bhy h- (de — cf-hbg— aA)', OQ mieux
= (ae -h é^-h c^ H- dA)« h- (a/— 6e — ch -+- dgf
H- (ag -^ bh — ce — df)^ -h (aA ^ bg -+- cf — de)^ .
De la relation (3) on peut déduire ce corollaire : Lorsque plusieurs nombres sont chacun la somme de quatre carrés, leur produit est une somme de quatre carrés.
Considérons le cas de trois nombres. Si, pour abréger récriture, on remplace dans la relation (3) les quatre termes du second membre par les expressions M', N', P*, Q", et si Ton considère un troisième nombre (i* 4-j* + A'^-f- /*) qui soit la somme de quatre carrés, on aura identiquement
(a* 4- 6« -H c« -4- d^)[p^ -H /** -h 3* -h h^){i* -h j« -4- it« h- /»)
et comme le second membre de cette relation est le produit de deux nombres qui sont chacun la somme de quatre carrés, leur produit sera une somme de quatre carrés.
Pour le cas de quatre nombres, on procède de la même manière, et ainsi de suite. La proposition en question est donc vraie quel que soit le nombre des facteurs du produit considéré.
RsHARQUB. — De la relation (1) on peut déduire de la même manière un corollaire analogue au précédent, c'est-à-dire que le produit de plusieurs nombres qui sont chacun la somme de deux can'és est aussi une somme de deux carrés.
139. III. La puissance m* d'un binôme de la forme {x-\-n) est un polynôme ainsi composé :
4<> Ses termes^ tous positifs, sont au nombre de m -+- i ;
2** Tous ces termes sont formés des deux facteurs a et x^ à l'exception du premier qui ne contient que le nombre x, et du dernier, le nombre a ;
3** Les exposants de x, dont le premier est m, vont en diminuant,' d'un terme à Vautre, d'une unité, de m jusqu'à i, et ceux de a vont en augmentant^ d'un terme à Vautre^ d'une unité, de 1 jusqu'à m;
4® Le coefficient d'un terme quelconque s'obtient en faisant le produit du coefficient du terme précédent par l'exposant de x, pris dans ce m^me terme, et en divisant le résultat par le nombre qui exprime le rang de ce terme.
Autrement dit, on aura la formule suivante, à laquelle on donne le nom de formule du binôme de Newton ':
{x -\- aY' = X-'" -h ■— ax'»-» H \ ^ a^x""'^ -h . . .
m(m — 1) . . . (fw — p -+- 1)
Considérons d'abord le produit de m binômes de la forme
X -ha, X -hb^ X 4- c, . . . , X -H /, et supposons-le ordonné
par rapport aux puissances décroissantes de x. Le premier terme sera évidemment a?"*, provenant du produit des premiers termes des m facteurs binômes. Le deuxième terme sera, en x*~*, provenant d'une somme de produits ayant chacun pour facteurs les premiers termes de m — i binômes et le second terme du m^ binôme, ces produits résultant de tontes les combinaisons possibles avec les m facteurs binômes pris m — 1 à m — 1; le coefficient de x*""* çeradonc la somme des seconds termes de tous les facteurs binômes, ou a -h 6 4- c -h ... H- /. Le troisième terme sera en x"^"^ , provenant d'une somme de produits ayant chacun pour facteurs les premiers termes de m — â binômes et les seconds termes des 1 autres binômes, ces produits résultant de toutes les combinaisons possibles avec les m facteurs binômes pris m — 2 à m— 2; le coefficient de x"»^* sera donc la somme des produits deux à deux des seconds termes de tous les facteurs binômes, ou aô -h flc -h ...-+- 6c H- ce? -h ...-*- W. En continuant ainsi, on trouvera que le quatrième terme du produit est en a:"'-^ et que le coefficient est l'a somme des produits trois à trois des seconds termes de tous les facteurs binômes, et, d'une manière générale, que le terme de rang jp 4- i . est en x"*"'', et que le coefficient est la somme des produits php des seconds termes de tous les facteurs binômes.
Si donc Ton représente par Si, S2, . . ., S;, . . . ces différents coefficients, on aura la formule suivante :
-f- SjX»"-2 -+-...-+- Spjr«-^ -+-... S^.
En y faisant tous les seconds termes des facteurs binômes égaux à a, si Ton représente par C)„, Ci,, . . . , CJ,, le nombre des combinaisons de m nombres pris 1 à 1, 2 à 2, ...,/? à ;>, on aura Si = eu ; S2 = C:„a« ; ... ; S;, = CS,a^ ; ... ; S^ = a"S
et la formule (1) se présentera sous la forme
nAUIAT. ~ MÉTBObOL. 32
Ce qui démontre les trois premières parties du théorème proposé, relatives au nombre, au signe, à la composition et aux exposants des termes du produit.
Pour démontrer la quatrième et dernière partie, qui constitue la règle des coeflîcients, établissons l'expressioa qui donne le nombre de combinaisons de m lettres prises n à n de toutes les manières possibles .
Soit C^ le nombre de ces combinaisons^ qui diffèrent toutes deux à deux au moins par une lettre. Le nombre total de lettres comprises dans Tensemble de ces combinaisons sera n(^y chacune d'elles en contenant n. D'un autre côté, comme une lettre quelconque, a par exemple, entre dans autant de combinaisons qu'on peut en obtenir avec m — i lettres prises n — iàn — 1, ou à C^z}, chaque lettre sera comprise ce même nombre de fois dans l'ensemble des combinaisons G^, ce qui donnera pour le nombre total des lettres mCSiZ}. Ce nombre étant déjà exprimé par ?iCi, on aura
l'identité
nC ** = mC "-*
Si dans cette relation on donne successivement à n les valeurs n — i, n — 2, ..., 2 et à w les valeurs m — i, m — 2, ..., ?n — n -h 2, on obtient la série suivante d'identités :
(n-i)C«=| = (m-l)Cr\,
2CÎ.„„^, = (m — « -h 2)C;„„^i ;
en multipliant membre à membre ce groupe d'identités et celle qui le précède, et en supprimant ensuite les facteurs communs, il vient
n(n — i; ... 2C,;; = ?n(m — -I ) ... (m — n -+- 2)Ci,n-Ht,
et comme l'expression C;„„4 i est égale à m — « + 1, puisqu'elle représente le nombre de combinaisons de (m — n -h i) lettres prises une à une, on a
/?(// — 1). . .2.0^', = 7/Jim— 1). . . (m — n-f- 1), d'où Ton tire
Cela établi, si ron fait dans cette expression n successivement égal à i, 2, . . ., p, la formule (2) devrent
m(rn — l).,.(m — P-+-1) ,^ ^ ^
140. Corollaire. — Dans la formule du binôme^ les coefficients de deux termes équidistants des extrêmes sont égaux.
Pour établir cette proposition, il suffît de démontrer que le nombre de combinaisons de m lettres p à p est égal au nombre de combinaisons de ces mêmes lettres m — p à m — p, c'est-à-dire que Ton a
On sait que
ÇV Çm~p
___m(m — l)...(m — p-hl)
et ' c-^-P ^ m{m-i)...{p-^\)
