m— jo

Si l'on multiplie les deux termes de chacun des seconds membres de ces deux dernières relations par le dénominateur « de l'autre, on obtient deux expressions dont les dénominateurs sont nécessairement égaux et dont les numérateurs le sont aussi.

Cette démonstration pourrait encore être faite en disant qu'à toute combinaison de m lettres php corresponidra une combinaison des m — p lettres restantes et que le nombre des premières combinaisons est ainsi exactement égal à celui des secondes.

141. Remarque I. — La relation (3) montre que le produit de n nombres entiers consécutifs quelconques est toujours divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

Remarque II. — Dans cette même relation, le numérateur

SOO ALGÈBRE PRATIQUE

du second membre exprime le nombre d'arrangements que r on peut obtenir avec m lettres en les prenant nkn^ c'est-àdire le nombre de groupes formés avec n quelconques de ces m lettres écrites Ibs unes à la suite des autres de toutes les manières possibles, autrement dit de façon que deux groupes diffèrent au moins par l'ordre des lettres.

Remarque 111. — Le dénominateur du second membre de cette même relation (3) exprime le nombre de permutatiom que Ton peut obtenir avec n lettres, c'est-à-dire le nombre de groupes formés avec ces n lettres écrites les unes à la suite des autres de toutes les manières possibles. Il suit de là que le nombre de permutations de n lettres n'est autre que le nombre d'arrangements de ces n lettres nkn.

Remarque IV. — Des deux remarques précédentes combinées avec la relation (3) on tire que le nombre de combinaisons de m lettres n à n est égal au quotient du nombre des arrangements de ces m lettres n k n par le nombre de permutations de n leltros. Si Ton représente ces arrangements par le système A;;, et ces permutations par P„, on a la relation

Remarque V. — On obtient le développement de la puissance m^ du binôme (a: — a) en changeant a en — a dans la formule (4), ce qui revient à écrire les termes du développement alternativement avec le signe -h et le signe — .

^ VIII. — Démonstrations par la réduction à l'absarde.

142. I. Pour quvn polynôme oniier en x soit équivalent à zérn, il fnul ci il suffit que tous ses coefficients soient nuls.

Soit le polynôme entier en a:,

Ax"^ -h Br'"-» -h Cx'»-- -f- . . . -+- F. Admettons pour un instant que ce polynôme soit équi\'alent

à zéro sans que cette condition entraîne cette autre que tous les coefficients sont nuls. Si Ton y remplace x par une série de m nombres tous différents les uns des autres, mais quelconques, a, 6, c, ...» ky /, en raison de cette équivalence à zéro, le polynôme s'annulera pour chacun d'eux. On aura aiosi, d'après un théorème connu (41),

Ax« -4-Ba;^-* -f- Car»"-» -f- ... -h F

Mais on voit que mis sous cette forme, le polynôme ne s'annulerait pour aucune autre valeur p différente des m précédentes, si A est différent de zéro, ce qui est contraire k l'hypothèse. A est donc nul. On démontrerait de même que les coefficients B, G, etc., sont aussi nuls.

La condition est donc nécessaire ; il est évident qu'elle est suffisante.

143. II. Démontrer que les trois nombres }/±, y/i et \l^ ne peuvent pas faire partie d'une même progression arithmétique.

Supposons un instant le contraire, et soient r la. raison de la progression, et m et n les nombres de termes respectivement compris entre ^2 et les deux autres nombres, ^3 et /3 ; on aura

• ^5 = V^-+-(n-hi)r, d'où Ton tirera

/5 — v^î = («-hl)r, et, en divisant membre à membre ces deux égalités,

•3—^5 m-hj •5 — ^2 "~ nn-l'

OQ bien, en multipliant les deux termes du premier rapport par

Or il est à remarquer que cette dernière égalité aurait pour premier membre un nombre essentiellement irrationnel et pour second membre, au contraire, un nombre rationnel : elle est donc impossible et, par suite, Thypothèse initiale de la démonstration est fausse.

La proposition est donc vraie.