CHAPITRE m

OPÉRATIONS FONDAMEIITALES

35. Ed Arithmétique, les premières opérations sur les nombres ont au fond pour objet ou la formation d'une somme en en réunissant les diverses parties, ou la séparation des différentes parties d'une somme. Or, comme les parties des nombres à former par composition ou par décomposition peuvent être inégales ou égales, on se trouve en présence de quatre cas distincts qui ont donné naissance aux quatre opérations fondamentales.

La théorie de la numération conduit à des moyens simples pour effectuer ces opérations. Soumis à cette condition essentielle de s*appliquer à tous les nombres, de façon que la démonstration faite sur un exemple numérique ne soit pas à recommencer pour chaque cas, ces moyens sont autant de règles générales de calcul.

36. La règle d'une opération découle de la déOnition, et la démonstration qu'on en fait sert à prouver la corrélation étroite qu'il y a entre Tune et l'autre. 11 s'ensuit que Tétude d'une opération ainsi que des principes qui s'y rapportent dépend essentiellement de la définition que l'on donne de cette opération.

Pour cette raison, les définitions doivent être simples et compréhensibles ; il convient, en outre, que celui qui enseigne se borne à n'en donner qu'une, bien choisie, pour chaque opération.

Mais lorsque la nécessité se fera sentir d'étendre l'idée de nombre telle qu'on l'a conçue jusqu'ici et que les définitions

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adoptées ne s'appliqueront pas aux nouveaux nombres que Ton aura à envisager, on en choisira d'autres qui permettront de prouver la généralité des règles établies et l'on démontrera que les secondes défmitions sont implicitement contenues dans les premières.

Nous trouverons plus loin les circonstances dans lesquelles on a besoin d'appliquer ces considérations.

^ I. — Addition.

37. DôflnUion — L'addition est une opération qui a pour objet de réunir plusieurs nombres donnés en un seul qui représente leur somme et d'exprimer cette somme qu'on appelle aussr total,

38. Théorie. — Il ressort immédiatement de cette définition que l'opération pourrait se faire en ajoutant à l'un des nombres successivement toutes les unités d'un deuxième, au résultat toutes les unités d'un troisième, et ainsi de suite jusqu'au dernier nombre donné ; mais ce procédé beaucoup trop long serait loin d'être pratique.

De l'idée d'addition et du principe considéré comme évident (28, 3°), que la somme de plusieurs nombres est indépendante de l'ordre dans lequel on les additionne, on déduit que si ces nombres sont formés chacun de plusieurs groupes d'unités, la somme est encore indépendante de la manière dont on réunit entre eux les différentes parties de tous ces nombres.

11 suit de là que pour faire une addition, il suffît d'ajouter d'abord toutes les unités de prem4er ordre que contiennent les nombres donnés, puis toutes les unités de deuxième ordre, puis toutes les unités de troisième ordre, et ainsi de suite, ef d'écrire un nombre qui représente l'ensemble de toutes ces sommes partielles.

La question revient donc en dernière analyse à savoir ajouter un nombre d'un seul chiffre d'abord à un autre nombre d'un seul chiffre, puis à un nombre quelconque, ce qui s'apprend très rapidement par la pratique.

La recherche et la démonstration de la règle à suivre comprennent donc les trois cas suivants :

!• Addition de deux nombres d'un seul chiffre ;

2** Addition d'un nombre quelconque et d'un nombre d'un seul chiffre;

3** Addition de plusieurs nombres quelconques.

Cette règle est la suivante :

. On écrit les nombres à additionner les U7is sous les autres, de manière que les unités de même ordre se correspondent verticale ment, puis on tire au-dessous un trait horizontal. Commençant ensuite par la droite^ on additionne les unités simples contenues 'dans la première colonne verticale et Von écrit le résultat au-dessous et SQus le trait s'il n^excède pas 9; dans le cas contrai re^ on n'écrit que le chiffre des unités simples et Von reporte toutes les autres unités à la colonne suivante. On opère de même pour toutes les autres colonnes. Le total de la dernièrCy à gauche, s'écrit tel qu'on le trouve. L'ensemble des chiffres écrits au-dessous du trait forme le nombre qui représente la somme cherchée.

39. L'opération pourrait être tout aussi bien commencée par la gauche que par la droite. Si Ton donne la préférence à la droite, c'est pour éviter d'avoir h corriger des résultats après les avoir écrits. Pour bien faire ressortir l'avantage que présente le premier procédé sur le second, il est bon de donner aux élèves des opérations à effectuer d'après l'un et l'autre de ces procédés.

40. L'additioa s'indique au moyen du signe H-, qui se prononce plus et qui se place entre les divers nombres dont on Veut faire la somme.

41. Propriétés essentielles de Taddition. — En dehors de cette propriété déjà énoncée que le résultat de l'addition est indépendant de Tordre dans lequel on ajoute les nombres et qui fait dire que cette opération est commutative, en voici une autre qui montre qu'elle est, en outre, associative : l'addition de plusieurs nombres donnés peut se décomposer en plusieurs additions partielles dont les résultats ajoutés ensemble donnent la somme totale.

42. Preuve. — La preuve d'une opération consiste dans une seconde opération qui a pour but de vérifier le résultat delà première. La concordance des deux résultats rend très vraisemblable leur exactitude, mais elle n'en est pas une preuve rigoureuse.

Les deux propriétés fondamentales de Taddition sont les principes sur lesquels reposent les deux procédés suivants pour faire la preuve de cette opération :

!• Après avoir additionné en suivant un certain ordre, additionner dans un ordre différent ;

2<* Scinder l'opération en plusieurs additions partielles et ajouter les différents résultats.

43. Autres propositions relatives à l'addition. ^ 4. Pour ajouter à un nombre la somme de plusieurs autres nombres, il suffit d'ajouter au premier chacun des autres successivement,