III. Trouver une fraction qui se réduise à •— quand on
diminue ses deuv termes de 3 unités ^ et qui devienne — en
m ajoutant 5 à ses deux termes,
Soit — la fraction cherchée. En traduisant algébriquement
renoncé du problème, on est conduit au système suivant de deux équations à deux inconnues :
En chassant les dénominateurs et simplifiant, on obtient le
sy tème équivalent :
\ 4ar— 1/ = 9,
aria soustraction membre à membre de ces deux équations,.
'^ / 2ar— V = —5.
il vieDt
tx = 14,
d'où X = 7.
Cette valeur de x, portée dans Tune des équations du système (2), la première par exemple, donne
d'où y = 19.
La fraction demandée est donc — •
149. IV. Trois joueurs A, B, C conviennent en se mettant au jeu que le perdant doublera ravoir des deux autres ; A perd la première partie y B la deuxième et C la troisième. Après ces trois parties, chaque joueur a la même somme a. Quel était l'avoir de chacun d'eux en entrant au jeu ?
Représentons par x, t/ et z les avoirs respectifs des joueurs A, B et C.
Après la première partie
A possède x — y — s,
et C — 22.
Après la deuxième^
A possède 2(.r — y — z),
ou 3j/ — X — 2,
et G — 42.
Après la troisième,
A possède 4(x — y — 2),
et C — . 4z — 2(x — y — 2) — (3t/ — a: — z),
ou Iz — X — y.
Les équations du problème sont donc les suivantes :
OU, en divisant les deux membres de la première par A, les deux membres de la deuxième par 2 et disposant dans chacune les inconnues par ordre alphabétique,
Si Ton additionne membre à membre la première et la deuxième, puis la première et la troisième» on obtient le système suivant de deux équations à deux inconnues :
L'addition membre à membre de ces deux équations donne
d'où 2 = — •
En substituant cette valeur de s dans Tune des équations
(2), la première par exemple, il vient
la
Enfin, la première des équations (l),dans laquelle on remplace y et 2 par leurs valeurs respectives, donne pour x
Les trois joueurs avaient ainsi, en se mettant au jeu : A, —a; B, ~a; C, — •
150. V. Une société de 30 personnes, comjjnsée d'hommes et de femmes, a dépensé, dans un hôtel^ une somme totale de 144'% dont la moitié par les hommes et Vautre moitié par les
femmes ; on sait en outre que l'écol d'un homme a dépassé dr! â'"" celui d'une femme. Combien y avait-il d'hommes ? i
Soit X le nombre d'hommes ; celui des femmes sera dej 30 — X. L'écot d'un homme, que représentera le quotient dej la moitié de la somme dépensée par .t, aura pour expression;
X ou et celui d'une femme
2ar 30 — xj
Comme le premier écot surpasse de V' le second, Téquatioa; du problème sera la suivante :
ou, en chassant les dénominateurs,
2160 — 72ar — 72a: = 60a? — 2ar*,
ou enfin, sous la forme la plus simple,
X* — lC2a? 4- i 080 = 0.
On en tire
a: = 51 ± •si» — 1080
= 51 it 39,
d'où a?' = 51 -4- 39 = 90,
La première racine étant supérieure au nombre total des hommes et des femmes est à rejeter. La seconde indique qu'il y avait 12 hommes dans la société, et par suite que les femmes étaient au nombre de 30 — 42 = 18. On vérifie que ces
nombres constituent bien la solution du problème, en cal-
72^*' cuiant Técot d'un homme, qui est de -r^ = 6'% celui
72fr
d'une femme, qui est de -j^- = 4'% et en constatant que le
lo
premier est supérieur de 2'' au second.
Remarque. — Si la première racine de l'équation du problème ne convient pas à la question, on peut se rendre compte qu'elle vérifie Téquation, ce qui veut dire que Téquation exprime d'autres conditions que celles du problème. Ce fait se présente souvent, c'est-à-dire qu'il n'y a pas toujours de réciprocité complète entre les relations des données d'ane
i question et celles que traduisent les équations. Aussi, répéterons-nous qu'il est indispensable de vérifier les différentes solutions des équations d'un problème avant de les adopter comme solutions du problème lui-même.
I 151. ^I. Trouver deux nombres dont la somme est m et le
produit — — •
Soit X l'un de ces nombres ; l'autre sera m — a?, et Ton aura pour équation du problème
ou X* — mx -\ — - = 0.
Les données de Isl question permettent d'écrire immédiatement cette équation, en se rappelant que les deui nombres cherchés sont les racines d'une équation du second degré de la forme x^ -^ px -h q = 0^ dans laquelle la somme des racines est égale au coefficient du second terme changé de signe et le produit de ces mêmes racines égal au terme constant.
Cela dit, l'équation précédente donne
:im^
d'où Ton tire
ff m m ^ 2 ()
Ces deux valeurs représentent, ainsi que nous l'avons dit, les deux nombres cherchés. On peut s'en rendre compte d'une autre manière en remarquant que leur somme, a/ + x^\ comme celle des nombres demandés, étant égale à
m, quand on prendra x' pour Tun des deux nombres, Tautre sera m — sf ou x" et vice versa.
Il n'y a donc que deux nombres qui répondent à la question et ce sont les racines de Téquation du problème.
