VII. Quels sont les deux nombres arithmétiques dont le
produit est 187 et la somme de leurs carrés 410 ?
Soient x et y ces deux nombres. On aura pour équations
du problème
( xy = 187,
Pour résoudre ce système d'équations simultanées, on remarquera que le produit des deux nombres étant donné, si Ton connaissait leur somme, on pourrait écrire immédiatement ^une équation dont les racines seraient les deux nombres cherchés. Or il ne manque à Texpression x^ ■+- y* que le double produit des deux nombres X et t/ pour qu'elle devienne le carré de la somme de ces deux nombres. Multiplions donc les deux membres de la première équation par 2 ; il viendra
ixy = 374.
Additionnons ensuite, membre à membre, cette dernière équation et la seconde du système ; on aura
x« -h 2x1/ -H tf = 784, ou (x + yY = 784,
d'où, en considérant qu'il s'agit ici de nombres arithmétiques,
x-hy = v^784 = 28.
Le système (1) d'équations simultanées est ainsi ramené au suivant, qui lui est équivalent :
( xy = 187,
Et Ton sait que les deux inconnues x et y de ce dernier système sont les racines des équations
On a donc pour valeurs de x et j/ celles de X que donne l'expression suivante :
MÉTHODE GÉiNÉRALE DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES 51 1
= 14db3, et qui sont ainsi :
or = X' = 17,
t/ = X'=li.
153. VIII. En divisant les produits de trois nombres arithmétiques pris deux à deux comme facteurs par le troisième nombre^ on obtient les trois quotients a, b, c. Quels sont ces trois nombres ?
Soient x, y et z les trois nombres. L'expression algébriqu e des conditions du problème conduit au système suivaQt de trois équations simultanées à trois inconnues :
zx
En multipliant les deux premières de ces équations membre
à membre, on obtient Téquation du second degré à une
inconnue
î/2 = ab,
d'où l'on tire, en considérant qu'il s'agit ici de nombres
arithmétiques,
En multipliant de même la première par la troisième, puis la deuxième par la troisième, on a respectivement les deux
équations
x^ = ne
et z^ = bc,
d'où l'on tire x = \fâc
et z = \lbc.
Remarque. — Par leur forme, les équations de ce problème permettent de déduire directement et par analogie, de la valeur de Tune quelconque des inconnues, de y par exemple, celles des deux autres : il suffit de remarquer, en effet, que
chaque inconnue est moyenne proportionnelle des seconds membres des deux équations qui contiennent celte inconnue au numérateur du premier membre. Une inconnue étant donc déterminée, on peut exprimer immédiatement les deux autres.
154. Emploi d'Inconnues auxiliaires. — On facilite parfois la mise en équation des problèmes en ayant recours à des inconnues auxiliaires, dont on n'a pas à trouver les valeurs, et qui doivent être, par conséquent, éliminées entre les équations qui les contiennent. On résout ensuite les équations qui résultent de cette opération et qui ne renferment plus que les inconnues à déterminer.
En voici un exemple dans la question suivante :
155. IX. n bœufs ont brouté en t jours V herbe fournie par un pré de S ares ; n' bœufs ont brouté^ (T autre part y en t' jours^ V herbe fournie par un jiré de S' ares. On demande combien il faudra de bœufs pour brouter en t" jours l'herbe fournie par Un pré de S" nres^ en supposant que l'herbe est à la même hauteur dans les trois prés à rentrée des bœufs et qu'elle continue de croître uniformément.
Soit X le nombre de bœufs demandé. Si Ton représente par H la hauteur de rberbe dans les trois prés à l'arrivée des bœufs, par h l'accroissement quotidien de celte herbe et par V le volume en mètres cubes de l'espace occupé par Therbe qu'un bœuf consomme journellement (H, h et v étant des inconnues auxiliaires), en exprimant, pour chaque pré, que le volume de l'herbe consommée par les bœufs est égal à celui (fui s'y trouvait augmenté de celui qui s'y est développé, on aura les trois équations suivantes :
7}vt = S(H -t- ht), n'vt' = S'(H -+- ht% xvt" = S"(H -f- ht").
Pour résoudre ce système d'équations, on tire des deux premières les valeurs de H et de /i, qui sont respectivement
^ti'{^n' — '^'n) SSÏ^-0 '
■" SS'(^ — t') " et on les porte dans la troisième équation, qui donne ainsi
L'inconnue auxiliaire v disparait comme facteur commun des deux membres de l'équation d'où Ton tire la valeur de x.
§ II. — Problèmes indéterminés.
156. La résolution ou le simple examen des équations d'un problème peuvent indiquer que ce problème admet une infinité de solutions ou tout au moins qu'il en admet plusieurs, c*-està-dire qu'il est indéterminé, et le fait peut tenir à des causes 1res différentes.
Si l'équation» mise sous une de ses formes les plus simples, montre qu'elle peut être satisfaite par un nombre quelconque, comme dans l'exemple qui suit, le problème est indéterminé.
