I. Après avoir perdu 10000''*, une personne augmente sa

fortune primitive de ses — et se trouve ators posséder le -— d'une

xomme égale à 7 fois son premier avoir moins 40 000^''. Quel ^tait cet avoir ?

Soit X ravoir initial de cette personne. Les modifications

*Sx qu'il subit l'amènent à l'expression x — 10000 h — — \ et

comme le résultat représente -, on a pour

équation du problème

d'où l'on tire ' 7a? — 40000 = 7,r — 40000.

Tout nombre substitué à x vériûe cette équation et par suite satisfait aux conditions du problème : le problème est donc indéterminé.

Cela tient à ce que les conditions de la question conviennent

UAUZAT. — MÉTHODOL. 33

Sli ALGÈBRE PRATIQUE

à tous les nombres indistinctement : tout nombre diminué de

10000 et augmenté de ses -j donne en effet le -r- de son sep-

tuple augmenté de 40000.

158. Si le problème conduit, comme le suivant, à un nombre d* équations inférieur à celui des inconnues, il y aura encore indétermination.

169. II. D'une vente de bœufs et de moutons aux prix de 250^' le bœuf et de 30'' le mouton, un marchand a retiré TSOO''. Combien a-t-il vendu de bœufs et de moutons ?

Soient a? et t/ les nombres respectifs de bœufs et de moulons vendus. Les conditions du problème conduisent à l'unique équation du premier degré à deux inconnues

250a; -+- 30i/ = 7 500 ou 2ox 4- 3y = 750.

En principe cette équation isolée admet une infinité de solutions^ c'est-à-dire qu'on peut donner à Tune des inconnues autant de valeurs arbitraires qu'on voudra et qu'à chacune de ces valeurs il en correspondra une pour la seconde inconnue. 11 s'ensuit que le problème est indéterminé. Toutefois cette indétermination a des limites en raison même de la nature des données : a: et y doivent être des nombres entiers positifs. Si donc on égale successivement x et ?/ à la plus petite valeur, zéro, des nombres positifs, on déduira de Téquation, pour y et pour X, les valeurs

qui sont les limites entre lesquelles doit se trouver le nombre total de bêtes vendues.

Tout en étant indéterminé, le problème admet donc ua nombre restreint de solutions, et chacune d'elles est constituée par deux nombres qui satisfont à Téquation ci-dessus et dont te somme est comprise entre 30 et 250 inclusivement.

Ces solutions sont au nombre de 11.

160. Il y a aussi indétermination lorsque les équations étant en nombre égal à celui des inconnues, Tune ou plusieurs <i'eDtre elles sont des conséquences des autres, comme dans les deux problèmes qui suivent :

16t. III. Des camarades d^école se sont réunis dans un banquet. S'ils avaient été 6 de plus, en payant chacun S'*" de moins, ils 4iuraient dépensé la même somme totale; mais s'ils avaient été ï de plus, en payant chacun V' demoins^ la dépense se serait Irouvée augmentée de 4''. Quels étaient le nombre de convives et Ucot de chacun ?

Soient x le nombre de convives et y l'écot de chacun. La •dépense totale est représentée par Texpression xy. Si les convives avaient été 6 de plus, en payant chacun 3^' de moins, celle dépense aurait eu pour expression (x -h 6) (y — 3) ; et 5i les convives avaient été 2 de plus, en payant chacun 1'' de moins, la dépense aurait eu pour expression (ar -h 2) (y — !). Eu indiquant que la seconde expression de dépense est égale à la première et que la troisième surpasse la première de 4'''^ on aura les deux équations suivantes :

(X -h 6)(t/ — 3) = xy, (x-h 2Xy — 1) = a:y H-4; ijui deviennent, ramenées à leur plus simple forme,

6î/ — 3x = 18, 2i/ — ar = 6.

Or, il est à remarquer que la seconde de ces dernières équations se déduit de la première en en divisant tous les termes par 3. Le problème est donc indéterminé, et cette indétermination qui a une limite inférieure (a; = 2 et ?/ = 4) n'a pas de limite supérieure, car à toute valeur entière de x correspondra une valeur de y : c'est ce qu'indique la seconde ^nation, par exemple, mise sous la forme

162. IV. Un nombre de trois chiffres satisfait aux conditions suivantes : la somme de ses chiffres est égale à il \ le double du

516 AL&ÈnRE PRATIQUE

chiffre des centaines diminué du chiffre des dizaines est égal à 3 ; et le triple du chiffre des centaines augmenté du chiffre des unités est égal à 20. Quel est ce nombre ?

Soient x le chiffre des centaines du nombre, y celui des dizaines, et z celui des unités. En exprimant algébriquement les différentes conditions auxquelles ces inconnues et les données du problème doivent satisfaire, on a le système suivant de trois équations simultanées du premier degré à trois inconnues :

x-hy-i-z = 17,

Sx-hz = 20.

Si, dans la première, on substitue à y et à z leurs valeurs tirées respectivement de la seconde et de la troisième, on obtient l'équation en x