X -h 2ar — 3 -4- 20 — 3x

qui se réduit, par simplification, à la suivante :

0xar = 0.

Tout nombre mis à la place de x vérifiant cette équation, le problème est indéterminé.

Gela provient de ce que Tune quelconque des trois équations se déduit des deux autres, la troisième par exemple, par l'addition membre à membre des deux premières.

Toutefois, comme la somme des trois inconnues doit être égale à 17, l'indétermination est très limitée. Si Ton donne, en effet, successivement à x les valeurs des neuf premiers nombres, qui sont les seules acceptables, des deux équations du système écrites ainsi qu^il suit

on obtient pour \y et z des valeurs correspondantes déterminées, et l'on trouve ainsi que les solutions du problème sont exclusivement représentées par les trois nombres 458, 575 et 692.

§ m. — Problèmes impossibles.

163. 11 arrive parfois que les équations d'un problème n'ont pas de solutions, ou bien encore que ces solutions ne con- TienneDt pas au problème. Dans ces cas, le problème n*admet pas de solution : il est impossible.

C'est ce qui a lieu lorsque les équations sont impossibles ou incompatibles comme dans les deux exemples suivants :

164. I. Deux robinets mettent, l'un A heures et Vautre 6 heures pour remplir un même bassin ; d'autre part, une soupape peut vider ce bassin en 2 heures 24 minutes. Sachant qu^on ouvre à la fois les deux robinets et la soupape , calculer le temps nécessaire pour vider le bassin supposé plein d'eau au moment où cornmencent à fonctionner les trois ouvertures.

Soit X le nombre d'heures employé par les deux robinets et la soupape fonctionnant ensemble pour vider le bassin.

Comme en une heure le premier robinet remplit le — du

bassio, en x heures, il en remplit une quantité -— ; on trouve

de même qu'en x heures le second robinet remplit une quan-

tité -^ de ce même bassin^ et, pendant le même temps, la

soupape, qui le vide en 2 heures 24 minutes ou -— - d'heure,

en vide une quantité y—* Cette dernière quantité devant être

é^le à la somme des deux autres augmentée du bassin plein ou de Tunité, on a Téquation

60ar ^ X x 144 ""T^F"^'

qui devient successivement

5x — 3x — 2x = 12, Oxar = 12.

Il n'y a pas de nombre qui, substitué à x, vérifie cette dernière équation. Le problème est donc impossible.

Ce résultat est dû à ce que Técoulement qui se produit par la soupape représente à chaque instant ce que donnent ensemble les deux robinets. La quantité d*eau contenue dans le bassin reste donc constante et Tépuisement en est impossible.

165. II. Trouver deux nombres dont la différence est 3 et dont la somme des carrés diminuée du double produit des deux nombres est 10.

Soient x ei y les deux nombres, x étant le plus grand des deux. La traduction des relations qui lient ces deux nombres aux données de la question fournit le système suivant de deux équations à deux inconnues :

En substituant à a?, dans la seconde de ces équations, sa

valeur tirée de la première,

on obtient Téquation en y

(!/-H3)'^^T/^-2j/(t/-+.3) = 10, qui se réduit à

Ox?y'-4-OXî/ = 1.

Il n'y a pas de nombre qui, mis à la place de t/, puisse vérifier cette équation. Le problème est donc impossible.

Cette impossibilité provient de ce que les deux équations du système (1) sont incompatibles. En 'effet, en élevant les deax membres de la première au carré, on obtient la suivante :

a?* -h 2/' — 2arj/ = 9.

Rapprochée de la seconde, elle fait ressortir que la quantité ^* -h y' — %xy devrait être à la fois égale à 9 et à iO, ce qui est une absurdité.

166. Les inconnues d'un problème peuvent être assujetties à certaines conditions inhérentes à la nature même de la question et que les équations sont impuissantes à traduire, comme, d'être entières ou comprises entre certaines limites. Dans ce

cas, si les valeurs données par la résolution des équations ne satisfont pas h ces conditions, comme dans les deux exemples suivants, le problème est impossible.

167. III. Un fermier emploie pendant deux jours aux travaux des champs un certain nombre d'hommes et de femmes. Le premier jour, à raison de b'' par homme et de 3'' par femme, il dépense 76'' ; le second jour, à raison de 6'' par homme et de V^ par femme, il dépense 97''. Combien a-t-il emploijé d'hommes et de femmes ?

Soient x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes.

En exprimant que le montant des sommes versées aux homm« s

et aux femmes est de 76'' le premier jour et de 97'' le second ,

on a le système suivant de deux équations du premier de^é à

deux inconnues :

En le résolvant par les procédés en usage, on obtient

Ces nombres devraient être entiers ; comme ils ne le sont pas, le problème est impossible.