Quel est le nombre arithmétique qui y augmenté de ses

— et diminué de son -r donne pour résultat les — du

même nombre moins i ?

L'équation de ce problème est la suivante :

En la résolvant, on trouve

Ce résultat négatif n'a ici aucun sens et le problème. est impossible, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombre arithmétique qui réponde aux données de la question.

On peut s'en rendre compte en remarquant que si Ton aug*

mente un nombre de ses •— pour en retrancher ensuite le

—1 on obtient les -^ de ce môme nombre, par conséquent

un résultat supérieur à ses — et a fortiori à ses — di-

minués de Tunité.

171. II. Pour le transport des marchandises, une compagnie de chemins de fer demande (K', 15 par tonne et par kilomètre, plus un droit de chargement évalué à l'%60 par tonne, A quelle distance peut-on faire transporter 48 tonnes de marchandises pour 56'' ?

Soit X la distance cherchée en kilomètres. Le prix du transport sera de 0,15 X 48 X a?, et le droit de chargement, de 1,60 X 48 ; on aura donc pour équation du problème

0,15x48Xx-+- 1,60x48 = 55,

ou 7,2a:-h76,8 = 55,

a ou .T = — -— — = — 3 — T- •

Une solution négative pour ce problème n a aucune signification ; elle n'indique même pas que la question puisse avoir une interprétation quelconque ; il ne pourrait y avoir qu'un changement de sens dans le transport, mais il n'en résulterait aucune modification dans les frais. Elle annonce donc que le problème est impossible.

On peut se rendre compte, d'ailleurs, de cette impossibilité, en remarquant que le droit de chargement qui s'élève à 76'%80 dépasse à lui seul la somme dont on dispose pour le total des frais.

172. Très souvent l'inconnue ou les inconnues d'un problème sont des grandeurs susceptibles d'être comptées, à partir d'une origine commune, dans deux sens opposés ; c'est lorsqu'elles représentent des longueurs prises sur une même droite à partir d'un même point, des nombres à ajouter ou à retrancher à un nombre donné, des températures évaluées au-

dessus ou au-dessous du zéro de la graduation, des durées comptées dans l'avenir ou dans le passé à partir du présent. Parfois aussi elles désignent des quantités qui, sans avoir d'origine commune, ont des significations contraires, comme les vitesses de deux mobiles qui vont dans des sens opposés. * le doit et Tavoir d'un commerçant, le gain ou la perte qui résultent d'une opération financière, etc.

Dans ces difTérents cas, les solutions négatives peuvent recevoir d'ordinaire une interprétation. Elles indiquent généralement que les inconnues doivent être prises dans un sens opposé à celui qui leur a été attribué dans la mise en équation du problème.

On s'en assure d'ailleurs par une nouvelle mise en équation, en faisant sur les inconnues des hypothèses contraires aux précédentes, et si la solution négative tient à une erreur de sens, on obtient, par la résolution des nouvelles équations, des valeurs positives, égales, abstraction faite du signe, aux valeurs négatives déjà trouvées, et qui satisfont aux conditions du problème.

Il résulte de là que pour distinguer les deux sens ou les deux significations des inconnues, dans des problèmes de ce genre, qu'il s'agisse de mettre ces problèmes en équation ou d'en interpréter les solutions, on se sert de la convention adoptée pour Tintroduction des nombres algébriques dans le calcul, c'est-à-dire qu'on regarde comme positifs les nombres qui mesurent les segments de droites horizontales comptés à droite de l'origine et les segments de droites verticales comptés au-dessus de l'origine, les nombres à ajouter^ les degrés de température au-dessus du zéro de la graduation, les nombres qui expriment le temps futur, l'avoir d'un commerçant, le gain réalisé dans une afi'aire, etc. et comme négatifs les nombres qui représentent les quantités opposées aux précédentes.

Voici quelques problèmes qui conduisent à des solutions négatives interprétables.