X -Hr3:J — T* d'où Ton lire x

On peut se convaincre, du reste, que cette température ne peut pas être au-dessus de celle de la glace fondante, attendu que l'échelle Fahrenheit, qui porte déjà le nombre 32 pour cette dernière température, croît beaucoup plus vite que l'autre et fait que la différence des degrés indiqués par les deux échelles, pour une même température supérieure à celle de la

i MÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES 327

; glace fondante, va en augmentant avec cette température ; I cette difTérence ne peut donc s'annuler qu'au-dessous.

. 177. Il ressort des quatre problèmes précédents, où les solutions négatives s'interprètent parce que l'inconnue est [une grandeur susceptible d'être prise dans deux sens opposés, [que les deux équations obtenues pour chacun d'eux par deux [hj-pothèses opposées, faites sur le sens de l'inconnue^ peuvent [se déduire Tune de l'autre par le changement de x en — x» \ Considérons, en effet, les deux équations du problème 111,

[et (2)

Sx __ 2(a? -- 25) ^ 117

Si Ton change a: en — a: dans (1), il vient

--3ar 2(— X — Î25)

ou, en changeant le signe de chaque membre,

3ar 2(ar -h 25)

équation identique à l'équation (2).

il est à remarquer, en outre, que lorsqu'une de ces deux équations, qui proviennent de deux sens contraires attribués à l'inconnue, admet une racine négative, cette racine prise positivement satisfait à Tautre équation.

En effet, considérons de nouveau l'équation

Comme elle admet pour racine le nombre négatif —326, on

a l'identité

qui montre que l'équation

3(-j) 2— X — 25) 163 " tl7

m-^.-^St

>il

'ïi

obtenue de la précédente par le changement de jet en —x est véri&éepar le nombre 326.

D'une manière générale on peut donc dire que toutes les solutions négatives de la première équation deviennent par un changement de signe des solutions positives de la seconde, et que toutes les solutions positives de la première deviennent, par le même changement, des solutions négatives de la seconde.

De là cette règle, dite de Descartes : Pour que les solutions négatives de l'équation d'un problème où les inconnues sont de$ quantités susceptibles d'être comptées dans deux sens opposés puissent être interprétées ^ il faut et il suffit que la nouvelle équation obtenue par des hypothèses contraires faites sur le sens des inconnues se déduise de la première en changeant x en — x.

Et la conséquence importante à déduire de tout cela, c'est que l'une quelconque des deux équations devient comme une équation générale comprenant tous les cas qui peuvent se présenter et répondant à chacun lorsqu'on donne* comme il convient les signes -|- et — aux deux sens des inconnues.

178. Il arrive parfois, pour des problèmes qui ne comportent d'après leur énoncé que des solutions positives^ que la résolution de leurs équations conduit k des solutions négatives. Ainsi formulés ces problèmes sont impossibles. Toutefois, il est des cas où renoncé peut être modifié de manière que le nouveau problème devienne possible.

En voici un exemple parmi tant d'autres qui pourraient être donnés.

179. VII. Un spéculateur place dans une entreprise une somme de iAOOO^^ pendant trois ans, La première année^ son gain est égal à la moitié de la somme totale qu'il retirera à la fin de l'entreprise ; la deuxième année ^ il perd les quatre cinquièmes de cette même somme totale qui doit lui revcîiir Vannée suivante : en/in^ la troisième année il gagne 1600'^ Quelle somme a-t-il gagnée finalement ?

Soit X la somme gagnée en fin de compte. Il retirera donc de l'entreprise 14000 -h x francs. D'autre part, la première

SIÉTUODE GÉNÉRALE pE RÉSOLUTION DES PROBLÈMES 529

UOOO-f-a?

année lui donne un gain de 5 1 la deuxième, une

perte de — (14000 + or), et la troisième, un gain de

leOC'; il lui revient ainsi, à la fin de cette dernière année, one somme de

14000 -+- ^ ~ 4 (*^^^ -H ar) + 1600.

L'équation du problème est dès lors la suivante :

qui devient, en supprimant le terme 14000 commun aux deux ' C' «^

membres, en chassant les dénominateurs et en efTectuant les /'^<l ^ "> j

multiplications indiquées, /^

70000 -H 5ar — 112000 — 8a; 4- 16000 = lOx, ^^ /VCf^

Ûl

OU 13x= — 26000, ^^1 ^^"^^^

d'où ar = — 2000.

Ce résultat négatif indique que le problème est impossible dans les termes où il est énoncé.

Hais comme l'inconnue est une grandeur qui peut être considérée dans deux sens opposés, faisons Thypothèse qu'au lieu d'un gain il s'agit d'une perte et remettons le problème en équation. On aura

14000-+- -—^ —(14000 — or) -h 1600 = 14000 — x.

Or cette équation se déduit de la précédente par le changement de X en — x. De sorte que la racine négative de la précédente équation s'interprète dans ce sens qu'elle annonce une perte au lieu d'un gain.

Pour rendre le problème possible, il faut donc modifier ainsi la fin de l'énoncé : Quelle somme a-t-il perdue finalement ?

On pourrait encore lui donner, comme aux problèmes qui le précèdent, une forme générale, en en terminant l'énoncé comme il suit, par exemple : Quelle somme a-t-il gagnée ou perdue finalement ? Si dans la mise en équation l'hypothèse

DADZAT. — M^BODOL. 34

n'est pas la vraie, la solution négative qui interviendra indiquera que Tinconnue doit avoir une si^uification contraire.

180. La règle de Descartes n'est pas d'une application absolue ; il est certaines questions dont les inconnues peuvent être considérées dans deux sens opposés, et où elle se trouve en défaut. En voici un exemple :

181. VIII. Etant donnés sw une droite horizontale indéfinie deux points A et B, le second étant situé à droite du premier^

trouver un troisième point C tel que le rapport de ses distances

respectives aux points k et B soit égal à —

C2 ^ C B Çi

^If . 1 » 1 (-

Kig. 12.

Soit XY (fig-i^) la droite horizontale indéfinie. Le point cherché peut se trouver à Tintérieur de AB, car le partage d'une quantité en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné est toujours possible, abstraction faite du signe ; d'autre part, le point G peut aussi se trouver à Textérieur de AB, à droite ou à gauche, car on trouve toujours une quantité dont le rapport à cette même quantité augmentée d'une autre déterminée — ou le rapport inverse — soit égal à un rapport

donné.

CA 2 Lorsque le point est à l'intérieur, on a la relation — — - = — ••